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Généré le: 20 juillet 2026 à 21:34

Calculateur d’intervalle de confiance pour une proportion

Données

Nombre de succès320
Taille de l’échantillon500
Niveau de confiance95%

Généré avec OneCalc · https://onecalc.app/fr/math/confidence-interval-proportion

Mathématiques

Calculateur d’intervalle de confiance pour une proportion

Calcule l’intervalle de confiance et la marge d’erreur d’une proportion échantillonnale : saisissez les succès et la taille de l’échantillon, choisissez un niveau de confiance de 90 %, 95 % ou 99 %, et obtenez à la fois l’intervalle de Wald et celui de Wilson.

Données

Données de l’échantillon

≥ 1

Résultats

Saisissez une valeur pour afficher les résultats.

%
%

Estimation ponctuelle et marge

%
%

Intervalle de Wilson

%
%

Étape par étape

\hat p = \dfrac{x}{n} = \dfrac{320}{500} = ?\%
\begin{aligned} E &= z^{*} \sqrt{\dfrac{\hat p\,(1 - \hat p)}{n}} \\ &= ? \sqrt{\dfrac{\frac{320}{500}\left(1 - \frac{320}{500}\right)}{500}} \\ &= ?\% \end{aligned}
\text{Lower} = \hat p - E = ?\% - ?\% = ?\%
\text{Upper} = \hat p + E = ?\% + ?\% = ?\%

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Intervalle de confiance pour une proportion

Quand un sondage annonce que 64 % des répondants soutiennent une mesure, ce seul pourcentage n’est qu’une estimation ponctuelle issue d’un échantillon. Un intervalle de confiance en fait une plage de valeurs plausibles pour la proportion réelle de la population, assortie d’un niveau de confiance annoncé. Il associe la proportion échantillonnale à une marge d’erreur qui reflète l’ampleur possible des variations d’un échantillon à l’autre.

Formules

Avec xx succès dans un échantillon de taille nn, la proportion échantillonnale est :

p^=xn\hat{p} = \frac{x}{n}

Erreur type :

SE=p^ (1−p^)nSE = \sqrt{\frac{\hat{p}\,(1 - \hat{p})}{n}}

Marge d’erreur :

E=z∗×SE=z∗p^ (1−p^)nE = z^{*} \times SE = z^{*}\sqrt{\frac{\hat{p}\,(1 - \hat{p})}{n}}

Intervalle de confiance de Wald :

p^±E=[p^−E, p^+E]\hat{p} \pm E = \left[\hat{p} - E,\ \hat{p} + E\right]

Valeurs z critiques (loi normale centrée réduite) :

Niveau de confiancez∗z^{*}
90 %1,6449
95 %1,9600
99 %2,5758

Wald contre Wilson

L’intervalle de Wald ci-dessus est la formule de la plupart des manuels d’introduction : symétrique autour de p^\hat{p} et facile à calculer. Sa faiblesse est de reposer sur l’approximation normale de la loi binomiale, qui s’effondre quand l’échantillon est petit ou la proportion proche de 0 ou 1. Dans ces cas, l’intervalle de Wald est trop étroit, sa couverture tombe sous le niveau annoncé, et il peut même produire des bornes inférieures à 0 % ou supérieures à 100 %.

L’intervalle de score de Wilson corrige cela en inversant le test de score plutôt qu’en supposant la symétrie :

p^+z∗22n±z∗p^(1−p^)n+z∗24n21+z∗2n\frac{\hat{p} + \dfrac{z^{*2}}{2n} \pm z^{*}\sqrt{\dfrac{\hat{p}(1 - \hat{p})}{n} + \dfrac{z^{*2}}{4n^{2}}}}{1 + \dfrac{z^{*2}}{n}}

Les bornes de Wilson restent toujours entre 0 et 100 %, l’intervalle est asymétrique, et sa couverture demeure proche du niveau visé même pour un petit nn. De nombreux statisticiens considèrent aujourd’hui Wilson comme l’option par défaut ; ce calculateur affiche les deux pour les comparer côte à côte.

Quand l’approximation normale est-elle valable ?

Une règle empirique courante veut que l’intervalle de Wald ne soit fiable que si l’on a à la fois

np^≥5etn(1−p^)≥5n\hat{p} \geq 5 \quad \text{et} \quad n(1 - \hat{p}) \geq 5

(certains ouvrages exigent 10). Avec très peu de succès, une proportion proche de 0 ou 1, ou un petit échantillon, passez à l’intervalle de score de Wilson ou à un intervalle exact de Clopper-Pearson.

Interprétation

Un intervalle de confiance à 95 % ne signifie pas qu’il y a 95 % de probabilité que la proportion réelle se trouve dans une plage donnée. La proportion réelle de la population est une constante fixe et inconnue — c’est l’intervalle qui est l’objet aléatoire, puisqu’il est construit à partir d’un échantillon aléatoire.

Le sens précis est un énoncé sur la procédure : si l’on répétait de nombreuses fois le même échantillonnage et la même construction d’intervalle, environ 95 % des intervalles obtenus contiendraient la proportion réelle. Un intervalle donné la contient ou non.

Sondages et marge d’erreur

La couverture médiatique d’un sondage cite généralement une seule « marge d’erreur, ±3 points ». Ce nombre est exactement E=z∗p^(1−p^)/nE = z^{*}\sqrt{\hat{p}(1-\hat{p})/n} à 95 % de confiance. Comme p^(1−p^)\hat{p}(1-\hat{p}) est maximal pour p^=0,5\hat{p} = 0{,}5, les instituts citent souvent la marge pour p^=0,5\hat{p} = 0{,}5, de sorte qu’un seul chiffre couvre prudemment toutes les questions.

La marge d’erreur décroît en n\sqrt{n} : la diviser par deux exige de quadrupler la taille de l’échantillon.

Taille de l’échantillonMarge d’erreur (95 %, p^=0,5\hat{p} = 0{,}5)
n = 100±9,8
n = 400±4,9
n = 1000±3,1
n = 1600±2,5

Exemple résolu : sondage de soutien

Un sondage auprès de 500 électeurs trouve 320 personnes favorables à une proposition.

Proportion échantillonnale : p^=320/500=0,64\hat{p} = 320 / 500 = 0{,}64

Erreur type : SE=0,64×0,36/500≈0,0215SE = \sqrt{0{,}64 \times 0{,}36 / 500} \approx 0{,}0215

Marge d’erreur à 95 % : E=1,96×0,0215≈0,0421E = 1{,}96 \times 0{,}0215 \approx 0{,}0421

Intervalle de Wald :

0,64±0,0421=[0,5979, 0,6821]=[59,79 %, 68,21 %]0{,}64 \pm 0{,}0421 = [0{,}5979,\ 0{,}6821] = [59{,}79\,\%,\ 68{,}21\,\%]

L’intervalle de score de Wilson pour les mêmes données est [59,70 %, 68,09 %][59{,}70\,\%,\ 68{,}09\,\%] — presque identique ici car n=500n = 500 est grand et p^=0,64\hat{p} = 0{,}64 est loin des extrêmes. Les deux intervalles divergent le plus quand l’échantillon est petit ou la proportion proche de 0 ou 1.

Interprétation : « À partir de cet échantillon de 500, nous estimons qu’entre environ 60 % et 68 % de tous les électeurs soutiennent la proposition, avec 95 % de confiance. »

Questions fréquentes (FAQ)

Quelle est la différence entre l’intervalle de Wald et celui de Wilson ?

L’intervalle de Wald (p̂ ± z*·√(p̂(1−p̂)/n)) est la formule des manuels : simple, symétrique autour de p̂ et rapide à calculer. Il fonctionne bien quand l’échantillon est grand et p̂ proche de 0,5, mais mal pour les petits échantillons ou les proportions proches de 0 ou 1 — il peut même produire des bornes inférieures à 0 % ou supérieures à 100 %. L’intervalle de score de Wilson résout le même problème en inversant le test de score : il reste toujours entre 0 et 100 %, il est asymétrique et sa couverture demeure proche du niveau annoncé même pour un petit n. Beaucoup de statisticiens recommandent aujourd’hui Wilson par défaut. Ce calculateur affiche les deux pour les comparer.

Quel est le lien avec la « marge d’erreur » d’un sondage ?

Quand un sondage annonce « 52 % de soutien, marge d’erreur ±3 points », ce ±3 est exactement la marge d’erreur E = z*·√(p̂(1−p̂)/n) à 95 % de confiance. Comme p̂(1−p̂) est maximal pour p̂ = 0,5, les instituts citent généralement la marge pour p̂ = 0,5, si bien qu’un seul chiffre couvre de façon prudente toutes les questions du sondage. Saisissez le pourcentage annoncé comme des succès sur la taille de l’échantillon pour reproduire l’intervalle.

Quand l’approximation normale est-elle valable ?

L’intervalle de Wald repose sur l’approximation normale de la loi binomiale, raisonnable quand n·p̂ et n·(1 − p̂) valent au moins 5 (certains ouvrages exigent 10). Avec peu de succès ou une proportion proche de 0 ou 1, l’approximation s’effondre et l’intervalle de Wald devient peu fiable : c’est précisément le cas où il faut utiliser l’intervalle de score de Wilson (ou un intervalle exact de Clopper-Pearson).

Comment interpréter l’intervalle obtenu ?

Un intervalle de confiance à 95 % allant de 59,79 % à 68,21 % ne signifie pas qu’il y a 95 % de probabilité que la proportion réelle se trouve dans cette plage — la proportion réelle est fixe. Il signifie que la procédure ayant produit cet intervalle capture la proportion réelle 95 % du temps lors d’échantillonnages répétés. En pratique : vous pouvez être raisonnablement sûr que la proportion réelle se situe entre les bornes indiquées, et un intervalle plus large signale un échantillon plus petit ou un niveau de confiance plus exigeant.

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