Calculateur de produit vectoriel (vecteurs 3D)

Calculez le produit vectoriel de deux vecteurs 3D — composantes, norme et aire du parallélogramme. Développement étape par étape via la méthode du déterminant.

Données

Résultats

\begin{aligned} c_1 &= a_2 b_3 - a_3 b_2 \\ &= (2)(6) - (3)(5) \\ &= ? \end{aligned}
\begin{aligned} c_2 &= a_3 b_1 - a_1 b_3 \\ &= (3)(4) - (1)(6) \\ &= ? \end{aligned}
\begin{aligned} c_3 &= a_1 b_2 - a_2 b_1 \\ &= (1)(5) - (2)(4) \\ &= ? \end{aligned}
\begin{aligned} |\mathbf{c}| &= \sqrt{c_1^2 + c_2^2 + c_3^2} \\ &= \sqrt{(?)^2 + (?)^2 + (?)^2} \\ &= ? \end{aligned}
\begin{aligned} A &= |\mathbf{a} \times \mathbf{b}| \\ &= ? \end{aligned}

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Qu'est-ce que le produit vectoriel ?

Le produit vectoriel de deux vecteurs tridimensionnels a et b est un troisième vecteur c = a × b, perpendiculaire à la fois à a et à b, dont la norme vaut |a||b|sin θ, θ étant l'angle entre les deux vecteurs.

Formule

Le produit vectoriel se calcule par développement d'un déterminant 3×3 :

a×b=∣ijka1a2a3b1b2b3∣=(a2b3−a3b2) i−(a1b3−a3b1) j+(a1b2−a2b1) k\mathbf{a} \times \mathbf{b} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \end{vmatrix} = (a_2 b_3 - a_3 b_2)\,\mathbf{i} - (a_1 b_3 - a_3 b_1)\,\mathbf{j} + (a_1 b_2 - a_2 b_1)\,\mathbf{k}

Le développement des cofacteurs donne trois composantes scalaires :

c1=a2b3−a3b2,c2=a3b1−a1b3,c3=a1b2−a2b1c_1 = a_2 b_3 - a_3 b_2, \quad c_2 = a_3 b_1 - a_1 b_3, \quad c_3 = a_1 b_2 - a_2 b_1

La norme du vecteur résultant — égale à l'aire du parallélogramme formé par a et b — est :

∣a×b∣=c12+c22+c32|\mathbf{a} \times \mathbf{b}| = \sqrt{c_1^2 + c_2^2 + c_3^2}

Règle de la main droite

La direction de a × b est déterminée par la règle de la main droite : en orientant les doigts de la main droite dans le sens de a, puis en les repliant vers b par le plus court chemin, le pouce tendu indique la direction de a × b. Cette convention entraîne l'anti-commutativité du produit vectoriel : b × a = −(a × b). Permuter les deux vecteurs inverse le sens du résultat.

Exemple de calcul

Soit a = (1, 2, 3) et b = (4, 5, 6).

c1=(2)(6)−(3)(5)=12−15=−3c_1 = (2)(6) - (3)(5) = 12 - 15 = -3 c2=(3)(4)−(1)(6)=12−6=6c_2 = (3)(4) - (1)(6) = 12 - 6 = 6 c3=(1)(5)−(2)(4)=5−8=−3c_3 = (1)(5) - (2)(4) = 5 - 8 = -3

Le produit vectoriel est donc a × b = (−3, 6, −3). Sa norme vaut :

(−3)2+62+(−3)2=9+36+9=54=36≈7,348\sqrt{(-3)^2 + 6^2 + (-3)^2} = \sqrt{9 + 36 + 9} = \sqrt{54} = 3\sqrt{6} \approx 7{,}348

C'est également l'aire du parallélogramme dont a et b sont les côtés adjacents.

Interprétation géométrique

La norme |a × b| mesure l'aire du parallélogramme ayant a et b pour côtés. En divisant par deux, on obtient l'aire du triangle formé par ces deux vecteurs — résultat exploité en géométrie tridimensionnelle et en infographie pour calculer les surfaces à partir des coordonnées des sommets.

Lorsque les deux vecteurs sont colinéaires, sin θ = 0 et donc a × b = 0. Ce critère constitue un test de colinéarité pratique : si le produit vectoriel de deux vecteurs directeurs est nul, les points associés sont alignés.

Restriction aux dimensions 3 et 7

Le produit vectoriel standard nécessite exactement trois dimensions pour produire un vecteur perpendiculaire à deux vecteurs donnés via la méthode du déterminant. En dimension 2, il n'existe pas de troisième axe. En dimension 4 et au-delà, l'ensemble des vecteurs perpendiculaires à deux vecteurs donnés forme un sous-espace de dimension supérieure à 1 ; il n'y a donc plus de vecteur perpendiculaire unique. Une généralisation existe en dimension 7 via l'algèbre des octonions, mais la version tridimensionnelle couvre la quasi-totalité des applications concrètes en physique, ingénierie et infographie.

Applications

Le produit vectoriel intervient dès qu'un axe perpendiculaire ou une mesure d'aire est requis :

  • Moment d'une force (couple) : τ = r × F, où r est le bras de levier et F la force appliquée.
  • Moment cinétique : L = r × p.
  • Normales de surface : en rendu 3D, la normale à un polygone triangulaire est le produit vectoriel de deux arêtes.
  • Force de Lorentz : F = q(v × B) — force exercée sur une charge en mouvement dans un champ magnétique.
  • Aire d'un triangle : la moitié de la norme du produit vectoriel de deux arêtes.

Questions fréquentes (FAQ)

À quoi correspond géométriquement le produit vectoriel ?

Le produit vectoriel a × b est un vecteur perpendiculaire à la fois à a et à b. Sa direction est donnée par la règle de la main droite et sa norme est égale à |a||b|sin θ, où θ est l'angle entre les deux vecteurs. Géométriquement, cette norme représente l'aire du parallélogramme construit sur a et b. Lorsque a × b = 0, les vecteurs sont colinéaires (ou l'un des deux est le vecteur nul).

Comment fonctionne la règle de la main droite ?

Orientez les doigts de la main droite dans la direction de a, puis repliez-les vers b en passant par le plus petit angle : le pouce tendu indique la direction de a × b. Le produit vectoriel est anti-commutatif : b × a = −(a × b). Permuter les deux vecteurs revient à inverser le sens du résultat.

Pourquoi le produit vectoriel est-il défini uniquement en dimension 3 (et 7) ?

Le produit vectoriel standard requiert précisément trois dimensions pour produire un vecteur perpendiculaire à deux vecteurs donnés via la formule du déterminant. En dimension 2, il n'existe pas de troisième axe ; en dimension 4 et au-delà, il y a une infinité de directions perpendiculaires à deux vecteurs, ce qui interdit toute définition unique. Une généralisation existe en dimension 7 à l'aide de l'algèbre des octonions, mais la version tridimensionnelle couvre la quasi-totalité des applications pratiques en physique, en ingénierie et en informatique graphique.

Dans quels cas le produit vectoriel est-il nul ?

a × b = 0 lorsque les deux vecteurs sont colinéaires (parallèles ou antiparallèles) ou lorsque l'un d'eux est le vecteur nul. Dans ce cas, sin θ = 0 et la norme |a||b|sin θ = 0. Physiquement, deux vecteurs colinéaires ne délimitent aucune surface, de sorte que le parallélogramme dégénère en segment.

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