Dernière mise à jour : 2026-06-10

Définition

Un cube est un solide géométrique à six faces carrées égales, douze arêtes de même longueur et huit sommets. Il constitue le cas particulier du parallélépipède rectangle où les trois dimensions sont identiques : une seule mesure, le côté s, suffit à déterminer entièrement le volume, l'aire, les diagonales et la longueur totale des arêtes.

Les formules

Pour un cube de côté s:

Grandeur	Formule	Signification
Volume	V = s³	Espace intérieur du cube
Aire totale	A = 6s²	Surface des six faces
Diagonale de face	$d_f = s\sqrt{2}$	Diagonale d'une face carrée
Diagonale spatiale	$d_s = s\sqrt{3}$	Relie deux sommets opposés par l'intérieur
Longueur totale des arêtes	L = 12s	Somme des 12 arêtes

Démonstration de l'aire totale

Un cube possède 6 faces carrées identiques, chacune d'aire s². L'aire totale est donc 6 × s². Pour s = 10 cm: A = 6 × 100 = 600 cm².

Démonstration de la diagonale de face

Chaque face est un carré de côté s. La diagonale s'obtient par le théorème de Pythagore:

$d_f = \sqrt{s^2 + s^2} = \sqrt{2s^2} = s\sqrt{2}$

Pour s = 10 cm: $d_f = 10\sqrt{2} \approx 14{,}14$ cm.

Démonstration de la diagonale spatiale

La diagonale spatiale relie deux sommets opposés en traversant l'intérieur du cube. On applique Pythagore en trois dimensions: on utilise d'abord la diagonale de face, puis on ajoute la dimension de hauteur:

$d_s = \sqrt{d_f^2 + s^2} = \sqrt{2s^2 + s^2} = \sqrt{3s^2} = s\sqrt{3}$

Pour s = 10 cm: $d_s = 10\sqrt{3} \approx 17{,}32$ cm. La diagonale spatiale est toujours plus longue que la diagonale de face ($\sqrt{3} > \sqrt{2}$).

Lien avec le parallélépipède rectangle

Un cube est un parallélépipède avec l = L = h = s. En substituant dans les formules générales:

• V = l·L·h → s·s·s = s³
• A = 2(lL + lh + Lh) → 2(s² + s² + s²) = 6s²
• Diagonale spatiale = $\sqrt{l^2 + L^2 + h^2} \to \sqrt{3s^2} = s\sqrt{3}$

Croissance cubique: le volume augmente vite

Comme le volume est proportionnel à s³, une faible augmentation du côté entraîne une forte augmentation du volume:

Facteur du côté	Facteur du volume	Facteur de l'aire
×2	×8	×4
×3	×27	×9
×½	×⅛	×¼

Une boîte cubique de 20 cm de côté contient 8 fois plus qu'une boîte de 10 cm, même si elle paraît seulement deux fois plus grande.

Exemples de calcul

Exemple 1 — Glaçon

Un glaçon standard mesure environ s ≈ 2,5 cm (0,025 m).

Volume: V = 0,025³ ≈ 0,0000156 m³ ≈ 15,6 mL Aire totale: A = 6 × 0,025² = 37,5 cm² Diagonale spatiale: $d_s = 0{,}025 \times \sqrt{3} \approx 4{,}33$ cm

Exemple 2 — Carton d'emballage

Un carton cubique de côté s = 30 cm:

Volume: V = 30³ = 27 000 cm³ = 27 litres Aire totale: A = 6 × 900 = 5 400 cm² de carton Longueur totale des arêtes: L = 12 × 30 = 360 cm de ruban adhésif

Exemple 3 — Trouver le côté à partir du volume

Si le volume est V = 8 m³, le côté vaut:

s = ∛V = ∛8 = 2 m

Pour V = 1 000 cm³: s = ∛1000 = 10 cm.

Questions fréquentes (FAQ)

Comment calculer la diagonale spatiale d'un cube ?

La diagonale spatiale d'un cube de côté s vaut d = s√3. Elle relie deux sommets opposés en traversant l'intérieur du cube. Par exemple, pour s = 10 cm : d = 10√3 ≈ 17,32 cm.

Quelle est la différence entre diagonale de face et diagonale spatiale ?

La diagonale de face est contenue dans une face carrée du cube et mesure s√2. La diagonale spatiale traverse l'intérieur du cube de sommet à sommet opposé et mesure s√3. Pour s = 10 cm : diagonale de face ≈ 14,14 cm, diagonale spatiale ≈ 17,32 cm.

Comment trouver le côté d'un cube à partir de son volume ?

On exprime s à partir de V = s³ : s = ∛V. Par exemple, si V = 1 000 cm³, alors s = ∛1000 = 10 cm. Pour V = 1 m³, s = 1 m.

Pourquoi l'aire totale d'un cube est-elle 6s² ?

Un cube possède 6 faces carrées identiques, chacune d'aire s². L'aire totale est donc 6 × s². Pour s = 5 cm : A = 6 × 25 = 150 cm².