Dernière mise à jour : 2026-05-26

L'équation du troisième degré

Une équation du troisième degré est une équation polynomiale de la forme :

Tout polynôme de degré trois à coefficients réels admet soit trois racines réelles (comptées avec multiplicité), soit une racine réelle et deux racines complexes conjuguées. Il ne peut pas avoir zéro racine réelle : la courbe représentative, qui va de $-\infty$ à $+\infty$, doit nécessairement couper l'axe des abscisses.

Réduction à la forme déprimée

La méthode classique commence par supprimer le terme en $x^2$. La substitution $x = t - \tfrac{b}{3a}$ transforme l'équation en une cubique déprimée :

Les coefficients $p$ et $q$ s'expriment uniquement en fonction de $a$, $b$, $c$ et $d$ :

Une fois les racines $t_1, t_2, t_3$ de la cubique déprimée calculées, on revient à l'équation initiale par $x_k = t_k - \tfrac{b}{3a}$.

Le discriminant

La nature des racines est déterminée par le discriminant :

• $\Delta > 0$ : trois racines réelles distinctes — méthode trigonométrique.
• $\Delta = 0$ : au moins deux racines coïncident (toutes réelles) — la méthode trigonométrique s'applique et restitue correctement les racines répétées.
• $\Delta < 0$ : une racine réelle et deux racines complexes conjuguées — formule de Cardano.

Formule de Cardano ($\Delta < 0$)

Lorsque $\Delta < 0$, la quantité $C = \tfrac{q^2}{4} + \tfrac{p^3}{27}$ est strictement positive, ce qui rend les racines cubiques ci-dessous réelles :

Les trois racines de $t^3 + pt + q = 0$ sont alors :

La racine réelle est $x_1 = t_1 - \tfrac{b}{3a}$ ; la paire complexe s'écrit $\alpha \pm \beta i$ avec $\alpha = -\tfrac{u+v}{2} - \tfrac{b}{3a}$ et $\beta = \tfrac{(u-v)\sqrt{3}}{2}$.

Exemple résolu. Résoudre $x^3 + x - 2 = 0$.

Ici $a = 1$, $b = 0$, $c = 1$, $d = -2$, ce qui donne $p = 1$, $q = -2$ et $\Delta = -112 < 0$.

Vérification : $(x-1)(x^2+x+2) = x^3+x-2$ ✓.

Méthode trigonométrique ($\Delta \geq 0$)

Lorsque $\Delta \geq 0$, la quantité $C \leq 0$, de sorte que $\sqrt{C}$ serait imaginaire. La formule de Cardano passerait alors par des nombres complexes même si les trois racines sont réelles : c'est le casus irreducibilis (« cas irréductible »). La méthode trigonométrique l'évite entièrement.

En posant $r = \sqrt{-p/3}$ (réel puisque $\Delta \geq 0$ implique $p \leq 0$) et $\theta = \tfrac{1}{3}\arccos\!\left(\tfrac{-q}{2r^3}\right)$, les trois racines s'écrivent :

L'écart angulaire de $\tfrac{2\pi}{3}$ entre les racines provient des trois racines cubiques de l'unité.

Exemple résolu. Résoudre $x^3 - 6x^2 + 11x - 6 = 0$.

Ici $a = 1$, $b = -6$, $c = 11$, $d = -6$. La cubique déprimée a $p = -1$, $q = 0$, soit $\Delta = 4 > 0$.

En restituant le décalage $h = -6/3 = -2$ : $x = t - h = t + 2$, ce qui donne $x_1 = 3$, $x_2 = 2$, $x_3 = 1$.

Vérification : $(x-1)(x-2)(x-3) = x^3-6x^2+11x-6$ ✓.

Contexte historique

La formule cubique a été découverte par Scipione del Ferro vers 1515, puis publiée par Gerolamo Cardano dans son traité Ars Magna en 1545. Ce fut le premier grand résultat algébrique au-delà de la formule du second degré et le point de départ d'une rivalité célèbre : Cardano avait obtenu la formule de Niccolò Tartaglia sous serment de confidentialité avant de la publier.

La découverte du casus irreducibilis, au même siècle, contraignit les mathématiciens à prendre les nombres complexes au sérieux pour la première fois. Rafael Bombelli (1572) fut le premier à manipuler systématiquement des valeurs intermédiaires complexes et à vérifier qu'elles s'annulent pour donner la racine réelle correcte.

Domaines d'application

Ingénierie — les charges critiques de flambement, les fréquences propres de vibration et les courbes de déflexion conduisent souvent à des équations caractéristiques cubiques. Les pôles d'un système de contrôle sont les solutions de polynômes cubiques (ou quartiques) en la variable de fréquence complexe $s$.

Informatique graphique — les courbes de Bézier cubiques sont paramétrées par des polynômes du troisième degré en $t \in [0,1]$ ; trouver l'intersection d'une courbe de Bézier avec une droite horizontale revient à résoudre une équation cubique.

Thermodynamique — l'équation d'état de van der Waals est cubique en le volume molaire $V_m$ : $(P + a/V_m^2)(V_m - b) = RT$. Les trois racines correspondent aux phases liquide, spinodale et gazeuse en dessous du point critique.

Finance — certains modèles de valorisation d'options exotiques et le calcul du taux de rendement interne pour des flux de trésorerie sur trois périodes conduisent à des équations cubiques.