Calcul d'intégrale définie de polynôme

Dernière mise à jour : 2026-05-26

Intégrale définie — définition

Une intégrale définie mesure l'aire algébrique comprise entre la courbe d'une fonction et l'axe des abscisses sur un intervalle fermé $[a, b]$ :

$\int_a^b P(x)\,dx$

L'adjectif « algébrique » est essentiel : les portions de courbe situées en dessous de l'axe des abscisses contribuent négativement au résultat. Si le polynôme prend des valeurs négatives sur une partie de l'intervalle, cette partie soustrait de l'aire totale. Le résultat est un nombre réel, non une fonction.

Le théorème fondamental du calcul intégral

Le résultat qui rend le calcul d'une intégrale définie praticable est le théorème fondamental du calcul intégral :

$\int_a^b P(x)\,dx = F(b) - F(a)$

où $F(x)$ désigne une primitive de $P(x)$, c'est-à-dire une fonction vérifiant $F'(x) = P(x)$.

Plutôt que de sommer une infinité de rectangles infiniment minces, il suffit de :

1. Déterminer une primitive $F(x)$.
2. Évaluer $F$ en chacune des deux bornes.
3. Calculer la différence $F(b) - F(a)$.

La règle de la puissance pour les polynômes

Pour un polynôme, la primitive de chaque terme s'obtient par la règle de la puissance :

$\int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \qquad (n \neq -1)$

On applique cette règle terme à terme pour calculer exactement la primitive de tout polynôme.

Exemple — $\int_0^2 (3x^2 - 1)\,dx$

Terme	Règle de la puissance	Terme de la primitive
$3x^2$	$3 \cdot \dfrac{x^3}{3}$	$x^3$
$\mathord{-1}$	$-1 \cdot \dfrac{x^1}{1}$	$-x$

On obtient $F(x) = x^3 - x$, d'où :

$\int_0^2 (3x^2 - 1)\,dx = F(2) - F(0) = (8 - 2) - (0 - 0) = 6$

Saisie des coefficients

Les coefficients du polynôme sont entrés du degré le plus élevé au degré le plus bas, séparés par des virgules.

Polynôme	Saisie des coefficients
$x^2$	1, 0, 0
$3x^2 - 1$	3, 0, -1
$2x^3 + x - 5$	2, 0, 1, -5
$7$ (constante)	7

Le nombre de valeurs saisies détermine le degré : quatre valeurs correspondent à un polynôme de degré 3.

Aire algébrique et inversion des bornes

L'intégrale définie fournit une aire algébrique, ce qui a deux conséquences importantes.

Lorsque la courbe est sous l'axe des abscisses : les contributions sont négatives. Par exemple, $\int_0^1 (-x)\,dx = -\frac{1}{2}$, même si la région géométrique délimitée a bien une aire de $\frac{1}{2}$.

Lorsque $a > b$ : l'intégrale est l'opposée de l'intégrale calculée de $b$ à $a$ :

$\int_a^b P(x)\,dx = -\int_b^a P(x)\,dx$

Il ne s'agit pas d'une erreur, mais d'une propriété fondamentale de l'intégrale. Avec $a = 2$ et $b = 0$, le calculateur renvoie bien l'opposé du résultat obtenu avec $a = 0$ et $b = 2$.

Constante d'intégration

Pour une intégrale indéfinie, on écrit $F(x) + C$, où $C$ est une constante arbitraire. Pour une intégrale définie, cette constante se simplifie :

$[F(x) + C]_a^b = (F(b) + C) - (F(a) + C) = F(b) - F(a)$

La constante $C$ n'influe donc pas sur le résultat et est omise dans la primitive affichée.

Limites de la règle de la puissance

La règle de la puissance s'applique uniquement aux polynômes ($x^n$ avec $n$ entier $\geq 0$). Pour d'autres fonctions, il faut utiliser des méthodes adaptées :

Type de fonction	Méthode
$\sin x$, $\cos x$, $e^x$	Primitives connues (résultat exact)
Fractions rationnelles, expressions algébriques	Décomposition en éléments simples, changement de variable
Sans primitive analytique fermée	Méthode de Simpson, quadrature de Gauss

Si l'intégrande ne peut pas être écrit sous forme polynomiale, ce calculateur n'est pas l'outil approprié : il convient alors d'utiliser une méthode d'intégration numérique ou un système de calcul formel.

Applications

Les intégrales définies interviennent dans de nombreux domaines scientifiques :

• Physique : déplacement à partir de la vitesse ($\int v\,dt$), travail effectué par une force ($\int F\,dx$).
• Économie : surplus du consommateur (aire entre la courbe de demande et le prix d'équilibre).
• Probabilités : pour une variable aléatoire continue, la probabilité qu'elle appartienne à $[a, b]$ est $\int_a^b f(x)\,dx$, où $f$ est la densité de probabilité.
• Géométrie : aire entre deux courbes, volume d'un solide de révolution.

Questions fréquentes (FAQ)

Ce calculateur fonctionne-t-il avec n'importe quelle fonction ?

Ce calculateur est réservé aux polynômes de la forme P(x) = aₙxⁿ + … + a₁x + a₀. Pour ces fonctions, la primitive s'obtient terme par terme par la règle de la puissance, ce qui donne un résultat exact sans erreur d'approximation. Pour intégrer une fonction non polynomiale (sin, eˣ, ln x, etc.), il faut recourir à des méthodes d'intégration numérique telles que la méthode de Simpson ou la quadrature de Gauss.

Que se passe-t-il si la borne inférieure est plus grande que la borne supérieure (a > b) ?

Le calculateur fournit quand même l'aire signée correcte. Par la propriété des intégrales définies, ∫_a^b P(x) dx = −∫_b^a P(x) dx. Lorsque a > b, le résultat est simplement l'opposé de l'intégrale calculée de b à a. Cette convention est mathématiquement rigoureuse et utile, par exemple, pour paramétrer des intégrales doubles ou des intégrales de flux.

Qu'est-ce qu'une primitive et pourquoi est-elle utile ?

La primitive F(x) d'un polynôme P(x) est une fonction dont la dérivée est P(x). Pour un monôme aₙxⁿ, la règle de la puissance donne aₙxⁿ⁺¹/(n+1). On applique cette règle terme par terme, puis on additionne les résultats. Le théorème fondamental du calcul intégral établit alors que ∫_a^b P(x) dx = F(b) − F(a), réduisant le calcul d'une intégrale à une simple substitution numérique.

Pourquoi la constante d'intégration n'est-elle pas affichée ?

Pour une intégrale définie, la constante d'intégration C se simplifie : [F(x) + C] évalué de a à b donne (F(b) + C) − (F(a) + C) = F(b) − F(a). La valeur de C n'a donc aucune incidence sur le résultat et est conventionnellement omise. La constante n'intervient que pour les intégrales indéfinies, où la famille de primitives s'écrit F(x) + C.