Dernière mise à jour : 2026-07-01

Ce que fait cette calculatrice

Cette calculatrice détermine les valeurs propres et vecteurs propres d'une matrice 2×2. En saisissant les quatre coefficients de A = [[a, b], [c, d]], elle renvoie la trace, le déterminant, l'équation caractéristique, les deux valeurs propres — réelles ou complexes — et un vecteur propre par valeur propre réelle, avec le détail des calculs.

Un vecteur propre de A est un vecteur non nul dont la direction reste inchangée lorsque la matrice agit sur lui. Le facteur par lequel il est dilaté est la valeur propre :

$A\mathbf{v} = \lambda\mathbf{v}, \qquad \mathbf{v} \neq \mathbf{0}$

L'équation caractéristique

On réécrit $A\mathbf{v} = \lambda\mathbf{v}$ sous la forme $(A - \lambda I)\mathbf{v} = \mathbf{0}$. Une solution non nulle n'existe que lorsque la matrice $A - \lambda I$ est singulière, c'est-à-dire lorsque son déterminant s'annule :

$\det(A - \lambda I) = 0$

Pour une matrice 2×2, cela se développe en une équation du second degré en $\lambda$ :

$\lambda^2 - (\operatorname{tr}A)\,\lambda + \det A = 0$

où la trace vaut $\operatorname{tr}A = a + d$ et le déterminant $\det A = ad - bc$. Ces deux invariants suffisent à déterminer les deux valeurs propres.

Résoudre en les valeurs propres

En appliquant la formule du second degré à l'équation caractéristique :

$\lambda = \frac{\operatorname{tr}A \pm \sqrt{(\operatorname{tr}A)^2 - 4\det A}}{2}$

La quantité sous la racine, $\Delta = (\operatorname{tr}A)^2 - 4\det A$, est le discriminant. Son signe fixe la nature des valeurs propres :

• $\Delta > 0$ : deux valeurs propres réelles distinctes.
• $\Delta = 0$ : une valeur propre réelle double.
• $\Delta < 0$ : une paire complexe conjuguée $\alpha \pm \beta i$.

Exemple résolu

Prenons la matrice symétrique [[2, 1], [1, 2]].

D'abord la trace et le déterminant :

$\operatorname{tr}A = 2 + 2 = 4, \qquad \det A = (2)(2) - (1)(1) = 3$

L'équation caractéristique et son discriminant :

$\lambda^2 - 4\lambda + 3 = 0, \qquad \Delta = 4^2 - 4(3) = 4$

Comme $\Delta > 0$, les valeurs propres sont réelles :

$\lambda_1 = \frac{4 + \sqrt{4}}{2} = 3, \qquad \lambda_2 = \frac{4 - \sqrt{4}}{2} = 1$

Trouver les vecteurs propres

Pour chaque valeur propre $\lambda$, on résout $(A - \lambda I)\mathbf{v} = \mathbf{0}$. Pour une matrice 2×2, les deux lignes sont proportionnelles : une seule ligne fixe la direction. Un choix fiable est $\mathbf{v} = (b,\ \lambda - a)$ dès que $b \neq 0$.

Pour $\lambda_1 = 3$ :

Pour $\lambda_2 = 1$ :

Tout multiple scalaire non nul de ces vecteurs est aussi un vecteur propre, car dilater un vecteur ne change pas sa direction. Une vérification rapide confirme $A\mathbf{v}_1 = 3\mathbf{v}_1$ et $A\mathbf{v}_2 = \mathbf{v}_2$.

Le cas complexe

Lorsque $\Delta < 0$, la racine devient imaginaire et les valeurs propres forment une paire complexe conjuguée :

$\lambda = \frac{\operatorname{tr}A}{2} \pm \frac{\sqrt{|\Delta|}}{2}\,i = \alpha \pm \beta i$

Les matrices de rotation en sont l'exemple classique. La rotation de 90° [[0, −1], [1, 0]] a une trace nulle et un déterminant égal à 1, donc $\Delta = 0 - 4 = -4$, et les valeurs propres valent $\pm i$. Une rotation ne laisse fixe aucune direction réelle, ce qui explique l'absence de vecteurs propres réels : ils vivent dans le plan complexe.

Trace, déterminant et valeurs propres

Les deux invariants sont directement liés aux valeurs propres, ce qui fournit une vérification rapide :

$\lambda_1 + \lambda_2 = \operatorname{tr}A, \qquad \lambda_1 \lambda_2 = \det A$

Dans l'exemple, $3 + 1 = 4 = \operatorname{tr}A$ et $3 \cdot 1 = 3 = \det A$. Si les valeurs propres ne reproduisent pas la trace et le déterminant, une erreur de calcul s'est glissée quelque part.

Où interviennent les valeurs propres

• Diagonalisation : une matrice à valeurs propres distinctes s'écrit $A = PDP^{-1}$, où $D$ contient les valeurs propres, ce qui rend les puissances $A^n$ faciles à calculer.
• Stabilité : pour le système $\mathbf{x}' = A\mathbf{x}$, les signes des parties réelles des valeurs propres déterminent si les solutions croissent ou décroissent.
• Directions principales : pour les matrices symétriques, les vecteurs propres sont orthogonaux et marquent les axes d'étirement, fondement de l'analyse en composantes principales et de la géométrie des formes quadratiques.