Calculateur d'ellipse : aire et périmètre

Dernière mise à jour : 2026-05-18

Définition

Une ellipse est une courbe fermée définie par deux points fixes appelés foyers : pour tout point de la courbe, la somme de ses distances aux deux foyers est constante. Lorsque les deux foyers se confondent, l'ellipse devient un cercle — le cercle est donc un cas particulier de l'ellipse.

Toute ellipse possède deux axes de symétrie :

• Grand axe : le diamètre le plus long, passant par les deux foyers. Sa moitié est le demi-grand axe a.
• Petit axe : le diamètre le plus court, perpendiculaire au grand axe. Sa moitié est le demi-petit axe b.

Par convention, a ≥ b > 0.

Formule de l'aire

L'aire d'une ellipse est :

A = π × a × b

Cette formule exacte a été démontrée par Archimède dans sa Mesure du cercle, en utilisant la méthode d'exhaustion — une forme précoce de l'intégration. Pour a = b = r, on retrouve l'aire du cercle πr².

Exemple : une ellipse avec a = 6 cm et b = 4 cm a une aire de :

A = π × 6 × 4 = 24π ≈ 75,40 cm²

Périmètre (approximation)

Contrairement à l'aire, il n'existe pas de formule fermée simple pour le périmètre d'une ellipse. La valeur exacte fait appel à une intégrale elliptique qui ne peut pas s'exprimer avec des fonctions élémentaires.

Ce calculateur utilise la première approximation de Ramanujan (1914), remarquablement précise :

$P \approx \pi \times [3(a + b) - \sqrt{(3a + b)(a + 3b)}]$

Pour a = b = r (cercle) :

$P = \pi \times [6r - 4r] = 2\pi r$ (exact)

Pour la plupart des ellipses, l'erreur est inférieure à 0,0001 %.

Exemple de calcul

Ellipse avec a = 6 cm et b = 4 cm :

$P \approx \pi \times [3(6 + 4) - \sqrt{(3 \times 6 + 4)(6 + 3 \times 4)}]$ $= \pi \times [30 - \sqrt{22 \times 18}]$ $= \pi \times [30 - \sqrt{396}]$

= π × [30 − 19,90...]
≈ π × 10,10
≈ 31,73 cm

Excentricité

L'excentricité e mesure l'écart entre l'ellipse et un cercle parfait :

$e = \sqrt{1 - (b/a)^2}$

Forme	Excentricité
Cercle	e = 0
Légèrement ovale	e ≈ 0,1–0,3
Modérément allongée	e ≈ 0,5–0,7
Très allongée	e → 1

L'excentricité d'une ellipse est toujours comprise entre 0 (inclus) et 1 (exclu).

Exemples réels

Les orbites planétaires sont des ellipses avec le Soleil en un foyer (première loi de Kepler) :

Corps	Demi-grand axe	Excentricité
Orbite terrestre	149,6 millions km	≈ 0,017
Orbite de Mars	227,9 millions km	≈ 0,093
Comète de Halley	2 667,9 millions km	≈ 0,967

L'orbite terrestre est quasi circulaire (e ≈ 0,017). Les saisons résultent de l'inclinaison de l'axe terrestre, non des variations de distance au Soleil.

Questions fréquentes (FAQ)

Quelle est la formule de l'aire d'une ellipse ?

L'aire d'une ellipse est A = π × a × b, où a est le demi-grand axe et b le demi-petit axe. Cette formule exacte a été démontrée par Archimède. Pour a = 6 cm et b = 4 cm : A = π × 6 × 4 = 24π ≈ 75,40 cm². Quand a = b = r, on retrouve l'aire du cercle πr².

Existe-t-il une formule exacte pour le périmètre d'une ellipse ?

Il n'existe pas de formule fermée simple pour le périmètre d'une ellipse : la valeur exacte nécessite une intégrale elliptique. En pratique, on utilise la première approximation de Ramanujan : P ≈ π × [3(a + b) − √((3a + b)(a + 3b))]. Pour a = b (cercle), elle donne exactement 2πr. L'erreur est inférieure à 0,0001 % pour toutes les ellipses.

Que mesure l'excentricité d'une ellipse ?

L'excentricité e = √(1 − (b/a)²) quantifie l'écart entre l'ellipse et un cercle parfait. e = 0 correspond à un cercle ; plus e s'approche de 1, plus l'ellipse est allongée. L'orbite terrestre a e ≈ 0,017 (quasi circulaire), la comète de Halley e ≈ 0,967 (très allongée).

Quelle est la différence entre une ellipse et un ovale ?

Une ellipse est une courbe mathématiquement précise : la somme des distances de tout point de la courbe aux deux foyers est constante. « Ovale » est un terme informel désignant toute courbe fermée, lisse et arrondie. Les œufs sont des ovales mais pas des ellipses, car ils sont asymétriques. Toute ellipse est un ovale, mais tout ovale n'est pas une ellipse.