Dernière mise à jour : 2026-07-02

Les foyers d’une ellipse

Une ellipse en position standard est décrite par

$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$

où $a$ est le demi-axe suivant la direction x et $b$ le demi-axe suivant la direction y. Toute ellipse possède deux points intérieurs particuliers, ses foyers. Ce sont eux qui font qu’une ellipse est une ellipse : pour tout point de la courbe, la somme des distances aux deux foyers est constante. Tendez une boucle de ficelle autour de deux clous et parcourez-la avec un crayon en la gardant tendue : le crayon dessine une ellipse dont les foyers sont les clous.

Cet outil prend $a$ et $b$ et renvoie la distance focale, les foyers eux-mêmes, l’excentricité, les sommets et les longueurs des grand et petit axes.

Demi-grand axe et demi-petit axe

Le plus long des deux axes est le grand axe ; le plus court, le petit axe. La moitié de chacun est un demi-axe. Pour rendre les formules indépendantes de l’orientation, on note $A$ le plus grand demi-axe et $B$ le plus petit :

$A = \max(a, b) \qquad B = \min(a, b)$

Les foyers se trouvent toujours sur le grand axe. Si $a > b$, le grand axe est horizontal ; si $b > a$, il est vertical.

Distance focale

La distance du centre à chaque foyer, $c$, découle des demi-axes :

$c = \sqrt{A^2 - B^2}$

Comme $A \ge B$, la quantité sous la racine n’est jamais négative. Pour une ellipse horizontale, les foyers sont en $(\pm c, 0)$ ; pour une verticale, en $(0, \pm c)$.

Excentricité

L’excentricité mesure l’écart de l’ellipse par rapport à un cercle :

$e = \frac{c}{A}$

Elle vérifie toujours $0 \le e < 1$. Quand $a = b$, les deux demi-axes sont égaux, $c = 0$ et $e = 0$ : l’ellipse est un cercle. À mesure qu’un axe grandit par rapport à l’autre, $e$ tend vers $1$ et l’ellipse devient longue et étroite.

Sommets et longueurs des axes

Les sommets sont les extrémités du grand axe, à une distance $A$ du centre : $(\pm A, 0)$ pour une ellipse horizontale ou $(0, \pm A)$ pour une verticale. Les extrémités du petit axe sont les co-sommets. Les longueurs totales des axes sont

$\text{grand axe} = 2A \qquad \text{petit axe} = 2B$

Exemple résolu

Problème : trouver les foyers, l’excentricité et les longueurs des axes de $\dfrac{x^2}{25} + \dfrac{y^2}{9} = 1$.

Étape 1 — lire les demi-axes : $a^2 = 25$ donc $a = 5$, et $b^2 = 9$ donc $b = 3$. Comme $a > b$, le grand axe est horizontal avec $A = 5$ et $B = 3$.

Étape 2 — distance focale :

$c = \sqrt{A^2 - B^2} = \sqrt{25 - 9} = \sqrt{16} = 4$

Étape 3 — foyers : sur le grand axe horizontal, en $(\pm 4, 0)$, soit $F_1 = (-4, 0)$ et $F_2 = (4, 0)$.

Étape 4 — excentricité :

$e = \frac{c}{A} = \frac{4}{5} = 0{,}8$

Étape 5 — sommets et axes : sommets en $(\pm 5, 0)$ ; grand axe $2A = 10$, petit axe $2B = 6$.

Cette ellipse a donc pour foyers $(-4, 0)$ et $(4, 0)$, une excentricité de $0{,}8$ et des axes de longueur $10$ et $6$.

Ellipses verticales

Quand $b > a$, l’ellipse est plus haute que large, donc le grand axe est vertical. Les rôles s’inversent simplement : $A = b$, $B = a$, et les foyers passent sur l’axe des y en $(0, \pm c)$. Par exemple, $\dfrac{x^2}{9} + \dfrac{y^2}{25} = 1$ a $A = 5$ et $B = 3$, le même $c = 4$ qu’avant, mais des foyers en $(0, -4)$ et $(0, 4)$. L’outil choisit l’orientation automatiquement selon le demi-axe le plus grand.

Pourquoi la somme des distances est constante

La propriété définissante $r_1 + r_2 = 2A$ est directement liée à $c$. En un sommet du grand axe, un rayon focal vaut $A + c$ et l’autre $A - c$, leur somme est donc $2A$. En un co-sommet, les deux rayons sont égaux par symétrie, chacun reliant un foyer sur une distance $\sqrt{B^2 + c^2}$ ; l’égaler à $A$ redonne $A^2 = B^2 + c^2$, qui se réarrange en $c = \sqrt{A^2 - B^2}$. Cette unique relation lie les foyers, les axes et l’excentricité.