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Volume et aire d'un ellipsoïde

Données

Demi-axe a3
Demi-axe b2
Demi-axe c1

Visualisation

Diagramme de l'ellipsoïdeEllipsoïde triaxial montrant les trois demi-axes : a (horizontal), b (vertical) et c (profondeur, représenté comme un arc équatorial en raccourci). a b c

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Mathématiques

Volume et aire d'un ellipsoïde

Calculez le volume exact et l'aire de la surface approchée d'un ellipsoïde triaxial à partir de ses trois demi-axes. Résultats en unités métriques et impériales avec développement des calculs.

Données

Diagramme de l'ellipsoïdeEllipsoïde triaxial montrant les trois demi-axes : a (horizontal), b (vertical) et c (profondeur, représenté comme un arc équatorial en raccourci). a b c

Résultats

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\begin{aligned} V &= \tfrac{4}{3}\pi a b c \\ &= \tfrac{4}{3}\pi (3)(2)(1) \\ &= ? \end{aligned}
\begin{aligned} A &\approx 4\pi\!\left(\frac{a^p b^p + a^p c^p + b^p c^p}{3}\right)^{\!1/p} \\[4pt] &\quad p = 1.6075 \\[4pt] &= ? \end{aligned}

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Définition

Un ellipsoïde est un solide dont toutes les coupes planes sont des ellipses. Il est caractérisé par trois demi-axes perpendiculaires les uns aux autres :

  • a — grand demi-axe (direction x)
  • b — demi-axe intermédiaire (direction y)
  • c — petit demi-axe (direction z, profondeur)

Tout point de la surface vérifie l'équation cartésienne x²/a² + y²/b² + z²/c² = 1. Lorsque a = b = c = r, l'ellipsoïde se réduit à une sphère de rayon r.

On rencontre des ellipsoïdes dans de nombreux domaines : la Terre est un sphéroïde aplati (a ≈ b > c), un ballon de rugby est un sphéroïde allongé (a > b ≈ c), les noyaux cellulaires, certaines planètes et les réservoirs sous pression à symétrie axiale en constituent d'autres exemples courants.

Volume

Formule

V=43 π a b cV = \frac{4}{3}\,\pi\,a\,b\,c

La formule est exacte — aucune approximation n'est nécessaire.

Démonstration par intégration

À la cote z fixée, la coupe horizontale de l'ellipsoïde est une ellipse de demi-axes a1−z2/c2a\sqrt{1 - z^2/c^2} et b1−z2/c2b\sqrt{1 - z^2/c^2}, dont l'aire est :

S(z)=π a b ⁣(1−z2c2)S(z) = \pi\,a\,b\!\left(1 - \frac{z^2}{c^2}\right)

L'intégration sur l'ensemble de l'ellipsoïde, de z = −c à z = c, donne :

V=∫−ccπ a b ⁣(1−z2c2)dz=π a b ⁣[z−z33c2]−cc=π a b⋅4c3=43 π a b cV = \int_{-c}^{c} \pi\,a\,b\!\left(1 - \frac{z^2}{c^2}\right)dz = \pi\,a\,b\!\left[z - \frac{z^3}{3c^2}\right]_{-c}^{c} = \pi\,a\,b\cdot\frac{4c}{3} = \frac{4}{3}\,\pi\,a\,b\,c

Il s'agit d'une généralisation directe de la formule sphérique : remplacer r par chacun des demi-axes a, b, c produit immédiatement le résultat.

Aire de la surface

Pourquoi l'expression exacte fait intervenir des intégrales elliptiques

Pour une sphère, la courbure est uniforme en tout point, et l'intégrale de surface se calcule directement pour donner 4πr². Pour un ellipsoïde, la courbure varie continûment d'un point à l'autre : l'intégrale de surface se ramène à des intégrales elliptiques incomplètes de première et de seconde espèce, qui ne possèdent pas de forme analytique élémentaire dans le cas général triaxial (a ≠ b ≠ c).

Cas particulier : le sphéroïde

Lorsque deux demi-axes sont égaux (a = b ≠ c), les intégrales elliptiques se simplifient en expressions élémentaires :

FormeConditionAire exacte
Sphéroïde aplatia = b > c2πa2 ⁣(1+1−e2e arctanh⁡ e),e=1−c2/a22\pi a^2\!\left(1 + \dfrac{1-e^2}{e}\,\operatorname{arctanh}\,e\right),\quad e = \sqrt{1 - c^2/a^2}
Sphéroïde allongéa > b = c2πc2 ⁣(1+ac e arcsin⁡e),e=1−c2/a22\pi c^2\!\left(1 + \dfrac{a}{c\,e}\,\arcsin e\right),\quad e = \sqrt{1 - c^2/a^2}

Pour un ellipsoïde triaxial, une approximation pratique s'impose.

Approximation de Knud Thomsen

La formule la plus précise parmi les approximations simples est celle proposée par Knud Thomsen (2004) :

A≈4π ⁣(apbp+apcp+bpcp3) ⁣1/p,p=1,6075A \approx 4\pi\!\left(\frac{a^p b^p + a^p c^p + b^p c^p}{3}\right)^{\!1/p}, \quad p = 1{,}6075

L'exposant p = 1,6075 a été déterminé empiriquement pour minimiser l'erreur maximale sur l'ensemble des combinaisons de demi-axes. Deux propriétés importantes :

  • Erreur maximale inférieure à 1,061 % pour toute combinaison de demi-axes strictement positifs.
  • Exacte pour une sphère (a = b = c) : la formule se réduit algébriquement à 4πa².

Pour les applications courantes en ingénierie, en biologie ou en conception, l'erreur reste généralement bien en dessous de 0,5 %.

Cas particuliers

FormeConditionVolumeAire de la surface
Sphèrea = b = c43πa3\tfrac{4}{3}\pi a^34πa24\pi a^2
Sphéroïde aplatia = b > c43πa2c\tfrac{4}{3}\pi a^2 cformule exacte ci-dessus
Sphéroïde allongéa > b = c43πac2\tfrac{4}{3}\pi a c^2formule exacte ci-dessus

Exemple numérique

Un réservoir de forme ellipsoïdale a pour demi-axes a = 40 cm, b = 25 cm, c = 20 cm.

Volume :

V=43 π×0,40×0,25×0,20=43 π×0,020≈0,0838 m3≈83,8 litresV = \frac{4}{3}\,\pi \times 0{,}40 \times 0{,}25 \times 0{,}20 = \frac{4}{3}\,\pi \times 0{,}020 \approx 0{,}0838\,\text{m}^3 \approx \mathbf{83{,}8\,\text{litres}}

Aire de la surface (approximation de Knud Thomsen, p = 1,6075) :

  • 0,401,6075≈0,22930{,}40^{1{,}6075} \approx 0{,}2293 ; 0,251,6075≈0,10770{,}25^{1{,}6075} \approx 0{,}1077 ; 0,201,6075≈0,07520{,}20^{1{,}6075} \approx 0{,}0752
  • apbp≈0,02469a^p b^p \approx 0{,}02469 ; apcp≈0,01725a^p c^p \approx 0{,}01725 ; bpcp≈0,008102b^p c^p \approx 0{,}008102
  • Moyenne des trois produits : (0,02469+0,01725+0,008102)/3≈0,01668(0{,}02469 + 0{,}01725 + 0{,}008102)/3 \approx 0{,}01668
  • (0,01668)1/1,6075≈0,0784(0{,}01668)^{1/1{,}6075} \approx 0{,}0784
A≈4π×0,0784≈0,985 m2A \approx 4\pi \times 0{,}0784 \approx \mathbf{0{,}985\,\text{m}^2}

Cette valeur indique la quantité de matière nécessaire pour fabriquer la paroi du réservoir.

Effet d'une variation des demi-axes sur le volume

La formule V = (4/3)πabc est linéaire en chacun des demi-axes : doubler un seul demi-axe double le volume, quel que soit le demi-axe choisi. Ce comportement diffère de celui de la sphère, où doubler r multiplie le volume par 8.

ModificationFacteur de volume
Doubler a seul× 2
Doubler b seul× 2
Doubler les trois demi-axes× 8
Tripler les trois demi-axes× 27

Questions fréquentes (FAQ)

Quelle est la formule du volume d'un ellipsoïde ?

Le volume d'un ellipsoïde de demi-axes a, b et c est V = (4/3)πabc. Par exemple, un ellipsoïde de demi-axes a = 3 cm, b = 2 cm, c = 1 cm a un volume V = (4/3) × π × 0,03 × 0,02 × 0,01 ≈ 2,513 × 10⁻⁵ m³ ≈ 25,13 cm³. Lorsque les trois demi-axes sont égaux (a = b = c = r), la formule se réduit à celle de la sphère : V = (4/3)πr³.

Pourquoi l'aire de la surface d'un ellipsoïde n'est-elle qu'approchée ?

L'aire exacte d'un ellipsoïde triaxial général fait intervenir des intégrales elliptiques incomplètes de première et de seconde espèce — il n'existe pas de forme analytique élémentaire. On utilise donc des approximations pratiques.

La formule simple la plus précise est l'approximation de Knud Thomsen : A ≈ 4π·[(aᵖbᵖ + aᵖcᵖ + bᵖcᵖ)/3]^(1/p), avec p = 1,6075. Son erreur relative maximale est inférieure à 1,061 % pour toute combinaison de demi-axes. Pour une sphère (a = b = c), la formule est exacte.

Quelle est la différence entre un sphéroïde aplati et un sphéroïde allongé ?

Un sphéroïde est un ellipsoïde particulier à deux demi-axes égaux. Un sphéroïde aplati (comme la Terre ou un disque) possède deux grands axes égaux et un petit axe : a = b > c. Un sphéroïde allongé (comme un ballon de rugby ou un œuf) possède deux petits axes égaux et un grand axe : a > b = c. Dans les deux cas, l'aire de la surface peut être calculée exactement à l'aide de fonctions élémentaires, contrairement au cas triaxial général.

Quelle est la précision de l'approximation de Knud Thomsen ?

La formule de Knud Thomsen avec l'exposant p = 1,6075 présente une erreur relative maximale inférieure à 1,061 % pour toute combinaison de demi-axes strictement positifs. Elle est exacte pour une sphère (a = b = c) et l'erreur n'approche la borne de 1 % que pour des rapports d'axes extrêmes. Pour la plupart des applications pratiques — ingénierie, conception, biologie — l'erreur reste bien en dessous de 0,5 %.

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