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Généré le: 20 juillet 2026 à 21:34

Calculatrice de loi exponentielle

Données

Taux0,5
Valeur3
Borne inférieure1
Borne supérieure4

Visualisation

f(t)
t f(t)

Généré avec OneCalc · https://onecalc.app/fr/math/exponential-distribution

Mathématiques

Calculatrice de loi exponentielle

Calcule la densité f(x), la fonction de répartition P(X≤x), la probabilité de queue P(X>x), la probabilité d’intervalle P(a≤X≤b), la moyenne, la variance et la médiane à partir du taux λ.

Données

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Détails

Distribution

f(t)
t f(t)

Étapes

\begin{aligned} f(x) &= \lambda e^{-\lambda x} \\ &= 0,5 \cdot e^{-0,5 \cdot 3} \\ &= ? \end{aligned}
\begin{aligned} P(X \le x) &= 1 - e^{-\lambda x} \\ &= 1 - e^{-0,5 \cdot 3} \\ &= ? \end{aligned}
\begin{aligned} P(X > x) &= e^{-\lambda x} \\ &= e^{-0,5 \cdot 3} \\ &= ? \end{aligned}
\begin{aligned} P(a \le X \le b) &= e^{-\lambda a} - e^{-\lambda b} \\ &= e^{-0,5 \cdot 1} - e^{-0,5 \cdot 4} \\ &= ? \end{aligned}
\begin{aligned} \mu &= \dfrac{1}{\lambda} \\ &= \dfrac{1}{0,5} \\ &= ? \end{aligned}
\begin{aligned} \sigma^2 &= \dfrac{1}{\lambda^2} \\ &= \dfrac{1}{0,5^2} \\ &= ? \end{aligned}
\begin{aligned} \text{median} &= \dfrac{\ln 2}{\lambda} \\ &= \dfrac{\ln 2}{0,5} \\ &= ? \end{aligned}

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Loi exponentielle

La loi exponentielle est une loi de probabilité continue qui modélise le temps d’attente entre des événements indépendants survenant à un taux moyen constant. C’est le pendant continu de la loi de Poisson : là où Poisson compte combien d’événements surviennent dans un intervalle fixe, la loi exponentielle décrit combien de temps on attend entre eux. On la retrouve en fiabilité, en théorie des files d’attente et en analyse de survie.

Formule

Pour un paramètre de taux λ > 0 et une valeur x ≥ 0, la densité (PDF) est :

f(x)=λe−λx,x≥0f(x) = \lambda e^{-\lambda x}, \quad x \geq 0

La fonction de répartition (CDF) donne la probabilité d’un temps d’attente au plus égal à x :

P(X≤x)=1−e−λxP(X \leq x) = 1 - e^{-\lambda x}

La fonction de survie (probabilité de queue) en est le complément — la probabilité d’attendre encore après x :

P(X>x)=e−λxP(X > x) = e^{-\lambda x}

La probabilité que le temps d’attente tombe dans un intervalle [a, b] est la différence de la fonction de survie aux bornes :

P(a≤X≤b)=e−λa−e−λbP(a \leq X \leq b) = e^{-\lambda a} - e^{-\lambda b}

La moyenne, la variance et la médiane sont des fonctions compactes du taux :

μ=1λ,σ2=1λ2,meˊdiane=ln⁡2λ\mu = \frac{1}{\lambda}, \qquad \sigma^2 = \frac{1}{\lambda^2}, \qquad \text{médiane} = \frac{\ln 2}{\lambda}

Exemple résolu

Une ligne d’assistance reçoit des appels à un taux moyen de λ = 0,5 appel par minute, soit un intervalle moyen de 1/0,5 = 2 minutes. Quelle est la probabilité que le prochain appel arrive en moins de 3 minutes ?

Avec la CDF et x = 3 :

P(X≤3)=1−e−0,5×3=1−e−1,5≈0,7769P(X \leq 3) = 1 - e^{-0,5 \times 3} = 1 - e^{-1,5} \approx 0,7769

Il y a une probabilité de 77,7 % que le prochain appel arrive en moins de 3 minutes. La probabilité d’attendre plus de 3 minutes est le complément :

P(X>3)=e−1,5≈0,2231P(X > 3) = e^{-1,5} \approx 0,2231

La probabilité que l’attente se situe entre 1 et 4 minutes vaut :

P(1≤X≤4)=e−0,5−e−2≈0,6065−0,1353=0,4712P(1 \leq X \leq 4) = e^{-0,5} - e^{-2} \approx 0,6065 - 0,1353 = 0,4712

La densité en x = 3 est :

f(3)=0,5 e−1,5≈0,1116f(3) = 0,5 \, e^{-1,5} \approx 0,1116

Démonstration de la formule

La CDF découle directement de l’intégration de la densité de 0 à x :

P(X≤x)=∫0xλe−λt dt=[−e−λt]0x=1−e−λxP(X \leq x) = \int_0^x \lambda e^{-\lambda t}\, dt = \left[ -e^{-\lambda t} \right]_0^x = 1 - e^{-\lambda x}

La moyenne s’obtient en intégrant x contre la densité :

μ=∫0∞x λe−λx dx=1λ\mu = \int_0^\infty x\,\lambda e^{-\lambda x}\, dx = \frac{1}{\lambda}

La médiane résout P(X ≤ m) = 0,5 :

1−e−λm=12  ⟹  e−λm=12  ⟹  m=ln⁡2λ1 - e^{-\lambda m} = \tfrac{1}{2} \;\Longrightarrow\; e^{-\lambda m} = \tfrac{1}{2} \;\Longrightarrow\; m = \frac{\ln 2}{\lambda}

Comme ln 2 ≈ 0,693 < 1, la médiane est toujours inférieure à la moyenne 1/λ, ce qui traduit l’asymétrie à droite de la loi.

La propriété d’absence de mémoire

La loi exponentielle est la seule loi continue sans mémoire :

P(X>s+t∣X>s)=P(X>t)P(X > s + t \mid X > s) = P(X > t)

Avoir déjà attendu s unités de temps n’apporte aucune information sur l’attente restante. C’est pourquoi le modèle convient aux composants à taux de défaillance constant — des pièces qui ne « vieillissent » pas au sens statistique — et fonde la propriété de Markov des processus en temps continu.

Lien avec d’autres lois

  • Poisson : si les événements suivent un processus de Poisson de taux λ, le nombre d’événements dans un intervalle fixe suit Poisson(λ) et le temps entre événements consécutifs suit Exponentielle(λ). Compter relève de Poisson ; mesurer les intervalles relève de l’exponentielle.
  • Géométrique : la loi géométrique modélise le nombre d’essais discrets jusqu’au premier succès. La loi exponentielle en est l’analogue en temps continu.
  • Gamma : la somme de k temps d’attente Exponentielle(λ) indépendants suit une loi Gamma(k, λ) — le temps jusqu’au k-ième événement d’un processus de Poisson.
  • Weibull : la loi exponentielle est le cas particulier de la loi de Weibull de paramètre de forme 1, correspondant à un taux de hasard constant.

Applications pratiques

  • Fiabilité : modéliser le temps jusqu’à la défaillance de composants à taux de hasard constant, base de la phase de « vie utile » de la courbe en baignoire.
  • Théorie des files d’attente : représenter les temps entre arrivées et de service dans les modèles M/M/1 et apparentés.
  • Analyse de survie : modèle de hasard de référence pour des données de temps jusqu’à événement en médecine et en actuariat.
  • Physique : décrire le temps entre désintégrations radioactives, où chaque noyau se désintègre indépendamment à taux fixe.
  • Télécommunications : modéliser le temps d’inactivité entre arrivées de paquets dans l’analyse du trafic réseau.

Questions fréquentes (FAQ)

Quand la loi exponentielle est-elle appropriée ?

Utilisez la loi exponentielle pour modéliser le temps d’attente entre des événements indépendants survenant à un taux moyen constant. Les exemples typiques incluent le temps jusqu’à l’arrivée du prochain client, la durée de vie d’un composant à taux de défaillance constant et l’intervalle entre désintégrations radioactives. C’est l’analogue continu de la loi géométrique et le partenaire « temps d’attente » de la loi de Poisson.

Qu’est-ce que la propriété d’absence de mémoire ?

La loi exponentielle est la seule loi continue sans mémoire : P(X > s + t | X > s) = P(X > t). Avoir déjà attendu s unités de temps n’apporte aucune information sur la durée de l’attente restante — cette dernière suit la même loi qu’un nouveau départ. C’est pourquoi elle modélise les systèmes sans usure, comme un composant dont le taux de défaillance n’augmente pas avec l’âge.

Quelle est la différence entre le taux λ et la moyenne ?

Le taux λ compte le nombre d’événements par unité de temps, tandis que la moyenne 1/λ mesure le temps moyen entre événements. Ce sont des inverses : si les événements arrivent à λ = 2 par heure, l’intervalle moyen est 1/2 = 0,5 heure. Certaines références paramètrent la loi exponentielle par la moyenne (souvent appelée échelle) plutôt que par le taux ; cette calculatrice utilise le taux λ.

Quel est le lien entre la loi exponentielle et la loi de Poisson ?

Elles décrivent le même processus sous deux angles. Si les événements suivent un processus de Poisson de taux λ, le nombre d’événements dans un intervalle fixe suit une loi de Poisson, et le temps entre événements consécutifs suit une loi exponentielle de même taux λ. Compter les événements relève de Poisson ; mesurer les intervalles relève de l’exponentielle.

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