Dernière mise à jour : 2026-07-01

Croissance et décroissance exponentielle

Une quantité croît ou décroît exponentiellement lorsque sa vitesse de variation est proportionnelle à sa taille actuelle. Plus elle est grande, plus elle change vite. Ce schéma décrit les populations, les soldes à intérêts composés, la matière radioactive, les concentrations de médicaments et la propagation initiale d’une épidémie. Le modèle commun qui les sous-tend est :

N = N₀ (1 ± r)^t

Ici N₀ est la valeur initiale, r le taux par période, t le temps écoulé et N la quantité ensuite. Un signe plus donne la croissance, un signe moins la décroissance.

Croissance contre décroissance

La seule différence entre croissance et décroissance est le signe du taux. En croissance, le facteur (1 + r) est supérieur à 1 : à chaque période la quantité est amplifiée et la courbe monte de plus en plus fort. En décroissance, le facteur (1 − r) est compris entre 0 et 1 : à chaque période la quantité est réduite et la courbe descend vers zéro, sans jamais l’atteindre.

Discret contre continu

Il existe deux façons courantes d’appliquer le taux.

Le modèle discret, N₀ (1 ± r)^t, applique le taux une fois par période entière. Il convient aux situations qui changent par étapes : intérêts crédités une fois par an, population recensée à chaque génération, solde mis à jour chaque mois.

Le modèle continu, N₀ · e^(kt), applique le taux à chaque instant, où k est le taux continu et e ≈ 2,71828. Il convient aux processus qui changent de façon régulière en permanence : décroissance radioactive, intérêts composés en continu, réactions chimiques d’ordre un. À taux nominal égal, le modèle continu croît un peu plus vite, car chaque petit gain commence aussitôt à se capitaliser.

Temps de doublement et demi-vie

Comme le taux est un pourcentage fixe, une quantité croissante met toujours le même temps à doubler, quelle que soit sa taille actuelle, et une quantité décroissante met toujours le même temps à diminuer de moitié. Ces constantes sont le temps de doublement et la demi-vie.

Pour le modèle discret :

• Temps de doublement = ln 2 ÷ ln(1 + r)
• Demi-vie = −ln 2 ÷ ln(1 − r)

Pour le modèle continu, les deux se réduisent à ln 2 ÷ k, car la valeur absolue du taux est la même dans les deux sens.

Une astuce pratique est la règle de 70 : divisez 70 par le taux en pourcentage pour estimer le temps de doublement. À 5 % par an, le doublement prend environ 70 ÷ 5 = 14 ans, proche des 14,21 ans exacts.

Exemple résolu

Problème : Une ville de 1 000 habitants croît de 5 % par an. Combien d’habitants après 10 ans, et au bout de combien de temps la ville double-t-elle ?

Avec le modèle discret de croissance :

N = 1000 × (1 + 0,05)^10 = 1000 × 1,62889 ≈ 1 629 habitants

Temps de doublement = ln 2 ÷ ln(1,05) ≈ 0,6931 ÷ 0,04879 ≈ 14,21 ans

Après une décennie, la population est donc d’environ 1 629, et à ce rythme elle atteindra 2 000 en un peu plus de quatorze ans.

Un exemple de décroissance

Problème : Une dose de 200 mg d’un médicament décroît de façon continue à un taux de 0,231 par heure. Combien en reste-t-il après 6 heures, et quelle est sa demi-vie ?

N = 200 × e^(−0,231 × 6) = 200 × e^(−1,386) ≈ 50 mg

Demi-vie = ln 2 ÷ 0,231 ≈ 3 heures

Le résultat de 50 mg à 6 heures correspond exactement à un quart de la dose, ce qui est logique : 6 heures représentent deux demi-vies, la quantité a donc été divisée par deux à deux reprises.

Lien avec les intérêts composés

La croissance exponentielle est le moteur mathématique des intérêts composés. Le modèle discret, avec r comme taux d’intérêt périodique, est identique à la formule des intérêts composés, et le modèle continu correspond aux intérêts composés en continu. Ce calculateur garde une présentation générale afin de s’appliquer aussi bien à la biologie, à la physique qu’à la finance.