Dernière mise à jour : 2026-07-13

Ce que fait ce calculateur

Ce calculateur résout un système de trois équations linéaires à trois inconnues x, y et z par élimination de Gauss :

$$a_1 x + b_1 y + c_1 z = d_1 \\ a_2 x + b_2 y + c_2 z = d_2 \\ a_3 x + b_3 y + c_3 z = d_3$$

Il écrit les douze coefficients et constantes sous forme de matrice augmentée, réduit cette matrice à la forme échelonnée par des opérations sur les lignes, puis substitue en arrière pour donner la solution (x, y, z). Lorsque la matrice des coefficients est singulière, il signale que le système n'a pas de solution unique.

La matrice augmentée

En empilant les coefficients et les seconds membres, on obtient la matrice augmentée, une barre verticale séparant le bloc des coefficients des constantes :

$$\left[\begin{array}{ccc|c} a_1 & b_1 & c_1 & d_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 & d_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 & d_3 \end{array}\right]$$

Chaque étape de l'élimination de Gauss est une opération sur les lignes de cette matrice : échanger deux lignes, multiplier une ligne par un scalaire, ou ajouter un multiple d'une ligne à une autre. Aucune ne modifie l'ensemble des solutions.

Élimination vers l'avant

Le but de l'élimination vers l'avant est de créer des zéros sous la diagonale, colonne par colonne, jusqu'à ce que la matrice soit triangulaire supérieure (forme échelonnée).

Étape 1 — annuler la colonne de x. Avec le premier pivot a₁, on soustrait un multiple de la ligne 1 aux lignes 2 et 3 :

$$m_{21} = \frac{a_2}{a_1}, \quad R_2 \to R_2 - m_{21} R_1, \qquad m_{31} = \frac{a_3}{a_1}, \quad R_3 \to R_3 - m_{31} R_1$$

Étape 2 — annuler la colonne de y. Avec le nouveau deuxième pivot b₂′, on soustrait un multiple de la ligne 2 à la ligne 3 :

$$m_{32} = \frac{b_3'}{b_2'}, \quad R_3 \to R_3 - m_{32} R_2$$

La matrice est maintenant triangulaire supérieure :

$$\left[\begin{array}{ccc|c} a_1 & b_1 & c_1 & d_1 \\ 0 & b_2' & c_2' & d_2' \\ 0 & 0 & c_3'' & d_3'' \end{array}\right]$$

Substitution arrière

La dernière ligne ne contient plus que z, elle se résout donc directement et les valeurs remontent :

$$z = \frac{d_3''}{c_3''}, \quad y = \frac{d_2' - c_2' z}{b_2'}, \quad x = \frac{d_1 - b_1 y - c_1 z}{a_1}$$

La matrice étant triangulaire, son déterminant est simplement le produit des pivots de la diagonale, $D = a_1 \cdot b_2' \cdot c_3''$. Un produit non nul confirme une solution unique.

Exemple résolu

Résolvons le système par défaut :

$$2x + y - z = 8 \\ -3x - y + 2z = -11 \\ -2x + y + 2z = -3$$

Étape 1 — multiplicateurs et premier balayage. Avec le pivot a₁ = 2 :

$$m_{21} = \frac{-3}{2} = -\tfrac{3}{2}, \qquad m_{31} = \frac{-2}{2} = -1$$

En soustrayant ces multiples de la ligne 1, on obtient

$$\left[\begin{array}{ccc|c} 2 & 1 & -1 & 8 \\ 0 & \tfrac{1}{2} & \tfrac{1}{2} & 1 \\ 0 & 2 & 1 & 5 \end{array}\right]$$

Étape 2 — annuler la colonne de y. Avec le pivot b₂′ = 1/2 :

$$m_{32} = \frac{2}{1/2} = 4, \qquad R_3 \to R_3 - 4 R_2$$ $$\left[\begin{array}{ccc|c} 2 & 1 & -1 & 8 \\ 0 & \tfrac{1}{2} & \tfrac{1}{2} & 1 \\ 0 & 0 & -1 & 1 \end{array}\right]$$

Étape 3 — substitution arrière :

$$z = \frac{1}{-1} = -1, \quad y = \frac{1 - \tfrac{1}{2}(-1)}{1/2} = 3, \quad x = \frac{8 - (1)(3) - (-1)(-1)}{2} = 2$$

Le déterminant est le produit des pivots, $2 \cdot \tfrac{1}{2} \cdot (-1) = -1 \ne 0$, ce qui confirme la solution unique (x, y, z) = (2, 3, −1).

Vérification :

$$2(2) + 3 - (-1) = 8 \checkmark \quad -3(2) - 3 + 2(-1) = -11 \checkmark \quad -2(2) + 3 + 2(-1) = -3 \checkmark$$

Quand l'élimination se bloque

Deux situations interrompent le balayage propre ci-dessus :

• Pivot nul, système non singulier. Si un coefficient de la diagonale est nul — par exemple lorsque la première équation n'a pas de terme en x —, le multiplicateur diviserait par zéro. Le remède est le pivotage partiel : échanger la ligne concernée avec une ligne du dessous ayant une entrée non nulle dans cette colonne, puis poursuivre. La solution ne change pas ; seul l'ordre des lignes diffère. Les logiciels numériques échangent aussi vers le plus grand pivot disponible pour limiter l'erreur d'arrondi.
• Pivot nul impossible à corriger. Si l'élimination produit une ligne de zéros sur les colonnes de coefficients, le déterminant est nul et la matrice des coefficients est singulière. Le système a alors soit une infinité de solutions (les constantes sont compatibles avec la dépendance), soit aucune (elles la contredisent). Aucun (x, y, z) unique n'existe.

Élimination de Gauss et règle de Cramer

Les deux méthodes donnent la même réponse pour un système non singulier. La règle de Cramer exprime chaque inconnue comme un rapport de déterminants, élégant pour un 3×3 mais coûteux quand la taille augmente. L'élimination de Gauss transforme tout le système par des opérations sur les lignes et passe bien mieux à l'échelle : c'est l'ossature des solveurs linéaires des bibliothèques numériques. Réduire jusqu'à la forme échelonnée réduite (RREF), où chaque pivot vaut 1 et les entrées au-dessus sont aussi annulées, permet de lire la solution directement, sans étape de substitution séparée.

Applications

Les systèmes à trois variables apparaissent en algèbre et en préparation à l'analyse, dans l'analyse de circuits avec les lois de Kirchhoff sur trois mailles, dans l'équilibrage des réactions chimiques et partout où trois conditions linéaires doivent tenir en même temps. L'élimination de Gauss est la méthode manuelle standard pour ces systèmes et le point de départ conceptuel de la factorisation LU et d'une grande partie de l'algèbre linéaire numérique.

Questions fréquentes (FAQ)

Qu'est-ce que l'élimination de Gauss ?

L'élimination de Gauss est une méthode systématique pour résoudre un système linéaire en combinant les équations. En écrivant le système sous forme de matrice augmentée, on soustrait des multiples d'une ligne aux autres pour créer des zéros sous la diagonale, jusqu'à la forme triangulaire supérieure (échelonnée). La dernière ligne ne contient plus qu'une inconnue, et la substitution arrière retrouve les autres de bas en haut.

En quoi l'élimination diffère-t-elle de la règle de Cramer ?

Les deux aboutissent à la même solution. La règle de Cramer écrit chaque inconnue comme un rapport de déterminants, compact pour un 3×3 mais vite coûteux. L'élimination de Gauss transforme tout le système par des opérations sur les lignes ; elle passe bien mieux à l'échelle des grands systèmes et est la méthode derrière la plupart des logiciels d'algèbre linéaire numérique. Cet outil montre les étapes d'élimination, tandis que le déterminant est donné comme le produit des pivots.

Quelle est la différence entre forme échelonnée et échelonnée réduite ?

La forme échelonnée a des zéros sous chaque terme principal, d'allure triangulaire supérieure, que l'on termine par substitution arrière. La forme échelonnée réduite va plus loin : chaque terme principal vaut 1 et les entrées au-dessus sont aussi annulées, si bien que la solution se lit directement. Ce calculateur réduit à la forme échelonnée puis substitue en arrière, la voie classique de l'élimination de Gauss.

Pourquoi mon système affiche-t-il « pas de solution unique » ?

Ce message apparaît quand le déterminant est nul, ce qui signifie qu'une équation est une combinaison linéaire des autres. L'élimination produit alors une ligne de zéros dans les colonnes de coefficients. Selon les constantes, le système a une infinité de solutions ou aucune. Une solution unique n'existe que lorsque les trois pivots sont non nuls.

Pourquoi échange-t-on des lignes pendant l'élimination ?

Si le pivot par lequel il faut diviser est nul, l'ordre naturel d'élimination échoue même pour un système à solution unique. Échanger la ligne concernée avec une ligne en dessous (pivotage partiel) place une entrée non nulle sur la diagonale pour poursuivre. Les logiciels numériques échangent aussi les lignes pour choisir le plus grand pivot disponible, ce qui limite les erreurs d'arrondi.