Dernière mise à jour : 2026-07-02

L'équation d'une hyperbole

Une hyperbole est l'ensemble de tous les points dont les distances à deux points fixes — les foyers — diffèrent d'une quantité constante. Une hyperbole horizontale de centre $(h, k)$ a pour forme canonique :

$\frac{(x - h)^2}{a^2} - \frac{(y - k)^2}{b^2} = 1$

Le signe moins est ce qui distingue une hyperbole d'une ellipse. Il produit deux branches disjointes qui s'ouvrent à gauche et à droite, chacune se dirigeant vers une paire de droites appelées asymptotes. Cette calculatrice part du demi-axe transverse $a$, du demi-axe conjugué $b$ et du centre $(h, k)$, et renvoie la distance focale, les sommets, les foyers, l'excentricité et les pentes des asymptotes.

Sommets, foyers et distance focale

Les sommets sont les deux points où les branches sont les plus proches. Ils se trouvent sur l'axe transverse, à une distance $a$ du centre :

$V = (h \pm a,\ k)$

Les foyers sont plus éloignés, à une distance $c$ du centre, où

$c = \sqrt{a^2 + b^2} \qquad\Longrightarrow\qquad F = (h \pm c,\ k)$

On a toujours $c > a$, car $b^2 > 0$. C'est l'inverse de la relation de l'ellipse $c = \sqrt{a^2 - b^2}$ : pour une hyperbole, les foyers sont au-delà des sommets, et non à l'intérieur.

Asymptotes et excentricité

Loin du centre, chaque branche épouse l'une des deux droites passant par le centre, de pentes $\pm b/a$ :

$y = k \pm \frac{b}{a}(x - h)$

Pour les tracer rapidement à la main, on dessine le rectangle central de largeur $2a$ et de hauteur $2b$ centré en $(h, k)$ ; les asymptotes sont ses diagonales prolongées.

L'excentricité mesure l'ouverture des branches :

$e = \frac{c}{a}$

Comme $c > a$, une hyperbole a toujours $e > 1$. (Une ellipse a $0 \le e < 1$, et une parabole se situe exactement à $e = 1$.)

Exemple résolu

Problème : décrire l'hyperbole $\dfrac{x^2}{9} - \dfrac{y^2}{16} = 1$.

Étape 1 — lire les demi-axes : $a^2 = 9$ et $b^2 = 16$, donc $a = 3$ et $b = 4$. Le centre est $(0, 0)$.

Étape 2 — sommets : en $(\pm a, 0) = (3, 0)$ et $(-3, 0)$.

Étape 3 — distance focale :

$c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$

donc les foyers sont $(5, 0)$ et $(-5, 0)$.

Étape 4 — excentricité :

$e = \frac{c}{a} = \frac{5}{3} \approx 1{,}667$

Étape 5 — asymptotes : pente $\pm b/a = \pm \tfrac{4}{3}$, soit $y = \pm \tfrac{4}{3}x$.

Cette hyperbole a donc des sommets $(\pm 3, 0)$, des foyers $(\pm 5, 0)$, une excentricité $5/3$ et des asymptotes $y = \pm\tfrac{4}{3}x$.

Le demi-latus rectum

Un bon point de contrôle est la hauteur de la branche juste au-dessus d'un foyer. En substituant $x = c$ dans l'équation, on obtient $y = \pm b^2/a$, quantité appelée demi-latus rectum. Dans l'exemple ci-dessus, il vaut $16/3 \approx 5{,}33$ — le graphe passe par $(5, \pm 16/3)$, ce qui explique que la branche soit déjà assez haute au niveau du foyer.

Différence entre axe transverse et axe conjugué

L'axe transverse relie les deux sommets et passe par les foyers ; sa demi-longueur est $a$. L'axe conjugué lui est perpendiculaire et passe par le centre ; sa demi-longueur est $b$. Contrairement à une ellipse, il n'est pas requis que $a > b$ — les branches coupent l'axe transverse quelle que soit la plus grande des deux valeurs $a$ ou $b$. Lorsque $a = b$, les asymptotes sont les droites perpendiculaires $y = \pm(x - h) + k$ et l'hyperbole est dite équilatère (ou rectangulaire), d'excentricité exactement $\sqrt{2}$.