Dernière mise à jour : 2026-05-18

Le triangle isocèle

Un triangle isocèle possède deux côtés égaux, les côtés égaux (longueur $a$), et un troisième côté, la base (longueur $b$). Les angles situés aux extrémités de la base — les angles de base $\beta$ — sont égaux, tandis que l'angle entre les deux côtés égaux est l'angle au sommet $\theta$. Cette symétrie suffit à déterminer entièrement le triangle à partir de deux mesures indépendantes.

Deux modes de saisie

Mode 1 — Côté et base : on connaît $a$ et $b$.
Mode 2 — Côté et angle au sommet : on connaît $a$ et $\theta$.

Les deux modes calculent la hauteur, l'aire, le périmètre, le rayon du cercle circonscrit et le rayon du cercle inscrit.

Mode 1 : à partir du côté et de la base

La perpendiculaire abaissée du sommet vers la base tombe exactement à son milieu par symétrie, divisant le triangle en deux triangles rectangles isométriques d'hypoténuse $a$ et de petit côté $\tfrac{b}{2}$.

Hauteur : $h = \sqrt{a^2 - \left(\frac{b}{2}\right)^2}$

Aire : $S = \frac{b \cdot h}{2}$

Angle de base : dans le triangle rectangle, $\cos\beta = \tfrac{b/2}{a} = \tfrac{b}{2a}$, donc : $\beta = \arccos\!\frac{b}{2a}$

Angle au sommet : $\theta = 180° - 2\beta$

Exemple numérique — $a = 5$, $b = 6$ :

$h = \sqrt{25 - 9} = 4, \quad S = \frac{6 \times 4}{2} = 12$

$\beta = \arccos(0{,}6) \approx 53{,}13°, \quad \theta = 180° - 106{,}26° = 73{,}74°$

Mode 2 : à partir du côté et de l'angle au sommet

Connaissant $a$ et $\theta$, on partage l'angle au sommet en deux demi-angles égaux à $\theta/2$.

Base : $b = 2a\sin\!\frac{\theta}{2}$

Hauteur : $h = a\cos\!\frac{\theta}{2}$

Aire (formule CAC) : $S = \frac{1}{2}\,a^2\sin\theta$

Angle de base : $\beta = \frac{180° - \theta}{2}$

Exemple numérique — $a = 5$, $\theta = 90°$ :

$b = 2 \times 5 \times \sin 45° = 10 \times \frac{\sqrt{2}}{2} = 5\sqrt{2} \approx 7{,}071$

$h = 5 \times \cos 45° = \frac{5\sqrt{2}}{2} \approx 3{,}536, \quad S = \frac{1}{2} \times 25 \times \sin 90° = 12{,}5$

Il s'agit ici d'un triangle isocèle rectangle (triangle 45-45-90).

Rayon du cercle circonscrit et du cercle inscrit

Rayon du cercle circonscrit : $R = \frac{a^2 b}{4S}$

Rayon du cercle inscrit (avec le demi-périmètre $s = (2a + b)/2$) : $r = \frac{S}{s}$

Cas particuliers

Configuration	Angle au sommet θ	Remarques
Équilatéral	60°	Trois côtés égaux
Isocèle rectangle	90°	Base $= a\sqrt{2}$
Très aigu	→ 0°	Dégénère en segment
Très obtus	→ 180°	Base → 2a, hauteur → 0

Lorsque $a = b$, le triangle est équilatéral. Si $b \geq 2a$, l'inégalité triangulaire n'est pas satisfaite : aucun triangle n'est possible.

Questions fréquentes (FAQ)

Comment calculer la hauteur d'un triangle isocèle ?

On abaisse la perpendiculaire depuis le sommet vers la base. Par symétrie, elle tombe exactement au milieu de la base, formant deux triangles rectangles isométriques d'hypoténuse a et de petit côté b/2. Le théorème de Pythagore donne h² = a² − (b/2)², soit h = √(a² − b²/4). Exemple : a = 5, b = 6 → h = √(25 − 9) = √16 = 4.

Comment calculer l'aire d'un triangle isocèle à partir de ses côtés ?

Une fois la hauteur h = √(a² − b²/4) connue, l'aire vaut S = b × h ÷ 2 = (b ÷ 2) × √(a² − b²/4). Pour a = 5, b = 6 : h = 4, donc S = 6 × 4 ÷ 2 = 12. Si l'angle au sommet θ est connu, la formule CAC S = ½ × a² × sin θ est aussi applicable.

Comment trouver les angles d'un triangle isocèle connaissant les côtés ?

L'angle de base β vérifie cos β = (b ÷ 2) ÷ a = b ÷ (2a), donc β = arccos(b ÷ (2a)). L'angle au sommet est θ = 180° − 2β. Exemple : a = 5, b = 6 → β = arccos(0,6) ≈ 53,13°, θ = 180° − 106,26° = 73,74°.

Quelle est la différence entre un triangle isocèle et un triangle équilatéral ?

Un triangle isocèle a au moins deux côtés égaux ; un triangle équilatéral a ses trois côtés égaux. Tout triangle équilatéral est isocèle, mais l'inverse est faux. Le triangle équilatéral est le cas particulier du triangle isocèle où l'angle au sommet est de 60° et la base est égale au côté.