Calculatrice de la règle des sinus — Triangle AAS

Dernière mise à jour : 2026-05-19

Ce que cette calculatrice résout

La règle des sinus relie chaque côté d'un triangle au sinus de l'angle qui lui est opposé. Entrez deux angles et le côté opposé à l'un d'eux (configuration AAS) et cette calculatrice détermine le troisième angle, les deux côtés inconnus, l'aire et le rayon du cercle circonscrit.

La règle des sinus

Pour tout triangle de côtés $a$, $b$, $c$ et d'angles opposés $A$, $B$, $C$ :

$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R$

Le rapport commun est égal au diamètre du cercle circonscrit.

Résolution d'un triangle AAS, étape par étape

Données : angle $A$, côté $a$ (opposé à $A$), angle $B$

Étape 1 : Trouver le troisième angle

$C = 180° - A - B$

Étape 2 : Trouver les côtés inconnus

$b = \frac{a \sin B}{\sin A}, \qquad c = \frac{a \sin C}{\sin A}$

Étape 3 : Calculer l'aire

$S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin C$

Étape 4 : Calculer le rayon du cercle circonscrit

$R = \frac{a}{2 \sin A}$

Exemple de calcul

Données : $A = 30°$, $a = 10$, $B = 45°$

$C = 180° - 30° - 45° = 105°$

$b = \frac{10 \sin 45°}{\sin 30°} = 10\sqrt{2} \approx 14{,}142$

$c = \frac{10 \sin 105°}{\sin 30°} \approx 19{,}319$

$S = \tfrac{1}{2} \times 10 \times 14{,}142 \times \sin 105° \approx 68{,}30$

$R = \frac{10}{2 \sin 30°} = 10$

Vérification : $b / \sin B = 14{,}142 / \sin 45° = 20 = 2R$ — la règle des sinus est bien vérifiée.

Dérivation par le cercle circonscrit

On trace le cercle circonscrit (rayon $R$) et un diamètre depuis le sommet $A$ vers un point $D$. L'angle $\angle ABD$ est droit (théorème de Thalès), donc $\sin(\angle ADB) = a/(2R)$. Le théorème de l'angle inscrit donne $\angle ADB = A$, d'où :

$\sin A = \frac{a}{2R} \implies \frac{a}{\sin A} = 2R$

Règle des sinus ou règle des cosinus

Données connues	Formule
Deux angles + un côté quelconque (AAS ou ASA)	Règle des sinus
Deux côtés + angle compris (SAS)	Règle des cosinus
Trois côtés (SSS)	Règle des cosinus
Deux côtés + angle non compris (SSA)	Règle des sinus (attention au cas ambigu)

Le cas ambigu

Le cas ambigu ne se produit que dans la configuration SSA. Avec AAS, le troisième angle est imposé par $C = 180° − A − B$, ce qui exclut toute ambiguïté.

Questions fréquentes (FAQ)

Quand utiliser la règle des sinus plutôt que la règle des cosinus ?

Utilisez la règle des sinus quand vous connaissez un angle et le côté qui lui est opposé — configurations AAS ou ASA. Utilisez la règle des cosinus pour un triangle dont vous connaissez deux côtés et l'angle compris (SAS) ou les trois côtés (SSS). En résumé : si l'angle connu est directement en face d'un côté connu, la règle des sinus s'applique.

Qu'est-ce que le cas ambigu de la règle des sinus ?

Le cas ambigu survient dans la configuration SSA (deux côtés + angle non compris). Si a < h = b sin A, aucun triangle n'existe. Si h < a < b, deux triangles satisfont les données. Cette calculatrice utilise AAS : le troisième angle est uniquement déterminé par C = 180° − A − B, ce qui exclut le cas ambigu.

Quel est le lien entre la règle des sinus et le rayon du cercle circonscrit ?

La règle des sinus étendue donne a / sin A = b / sin B = c / sin C = 2R, où R est le rayon du cercle circonscrit. On en tire directement R = a / (2 sin A). Pour un triangle rectangle (C = 90°), R = c/2 : le rayon vaut la moitié de l'hypoténuse.

Quelle est la différence entre AAS et ASA ?

En ASA, le côté connu est compris entre les deux angles. En AAS, le côté connu est opposé à l'un des angles. Les deux configurations déterminent un triangle unique et se résolvent de façon identique : on calcule C = 180° − A − B, puis on applique la règle des sinus.