Dernière mise à jour : 2026-07-01

Ce que fait cette calculatrice

Cette calculatrice trouve le déterminant d’une matrice carrée : un nombre unique qui résume la façon dont la matrice étire, comprime ou retourne l’espace. Choisissez le mode 2×2 ou 3×3, saisissez les coefficients, et le déterminant se met à jour avec un développement détaillé.

Le déterminant d’une matrice A se note $\det A$ ou $|A|$.

Le déterminant 2×2

Pour une matrice 2×2, le déterminant est le produit de la diagonale principale moins le produit de la diagonale secondaire :

$$\det \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} = ad - bc$$

Exemple résolu (2×2)

Prenons la matrice [[1, 2], [3, 4]] :

$\det A = (1)(4) - (2)(3) = 4 - 6 = -2$

Le signe négatif signifie que cette transformation inverse l’orientation, et la valeur absolue 2 signifie qu’elle double l’aire.

Le déterminant 3×3 par développement selon une ligne

Pour une matrice 3×3, on développe selon la première ligne. Chaque coefficient de la première ligne est multiplié par le déterminant du mineur 2×2 restant après suppression de sa ligne et de sa colonne, avec des signes alternés + − + :

$$\det \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix} = a_{11} M_{11} - a_{12} M_{12} + a_{13} M_{13}$$

où les mineurs sont

$$M_{11} = \begin{vmatrix} a_{22} & a_{23} \\ a_{32} & a_{33} \end{vmatrix}, \quad M_{12} = \begin{vmatrix} a_{21} & a_{23} \\ a_{31} & a_{33} \end{vmatrix}, \quad M_{13} = \begin{vmatrix} a_{21} & a_{22} \\ a_{31} & a_{32} \end{vmatrix}.$$

Exemple résolu (3×3)

Prenons la matrice [[6, 1, 1], [4, −2, 5], [2, 8, 7]] :

$M_{11} = (-2)(7) - (5)(8) = -14 - 40 = -54$

$M_{12} = (4)(7) - (5)(2) = 28 - 10 = 18$

$M_{13} = (4)(8) - (-2)(2) = 32 + 4 = 36$

On combine ensuite avec les coefficients de la première ligne et les signes alternés :

$\det A = (6)(-54) - (1)(18) + (1)(36) = -324 - 18 + 36 = -306$

La règle de Sarrus (raccourci pour 3×3)

Une variante réservée aux matrices 3×3 est la règle de Sarrus : recopiez les deux premières colonnes à droite de la matrice, additionnez les trois produits diagonaux de gauche à droite et soustrayez les trois de droite à gauche :

$$\det A = a_{11}a_{22}a_{33} + a_{12}a_{23}a_{31} + a_{13}a_{21}a_{32} - a_{13}a_{22}a_{31} - a_{11}a_{23}a_{32} - a_{12}a_{21}a_{33}$$

Elle donne le même résultat que le développement par cofacteurs. Sarrus est rapide à appliquer à la main, mais ne se généralise pas au-delà de 3×3 ; c’est pourquoi le développement par cofacteurs est enseigné en premier.

Lorsque le déterminant est nul

Un déterminant nul signale une matrice singulière :

• Ses lignes (et colonnes) sont linéairement dépendantes.
• La transformation aplatit l’espace sur une droite ou un plan, perdant une dimension.
• La matrice n’a pas d’inverse.
• Un système linéaire Ax = b avec A singulière n’a aucune solution ou une infinité.

Par exemple, [[1, 2, 3], [4, 5, 6], [7, 8, 9]] a un déterminant nul car chaque ligne est un pas arithmétique par rapport à la précédente, ce qui rend les lignes linéairement dépendantes.

Signification géométrique

Le déterminant mesure une mise à l’échelle signée :

• 2×2 : le déterminant est égal à l’aire signée du parallélogramme engendré par ses vecteurs colonnes. Un déterminant de 5 signifie que les aires sont multipliées par 5 ; un déterminant de −5 signifie qu’elles sont multipliées par 5 avec inversion de l’orientation.
• 3×3 : le déterminant est égal au volume signé du parallélépipède engendré par ses trois colonnes.
• Une valeur absolue de 1 signifie que l’aire ou le volume est conservé (une rotation ou une réflexion) ; une valeur absolue de 0 signifie que la figure est aplatie à une aire ou un volume nul.

Propriétés utiles

• $\det(AB) = \det(A)\,\det(B)$ — le déterminant d’un produit est le produit des déterminants.
• $\det(A^{\mathsf{T}}) = \det(A)$ — transposer laisse le déterminant inchangé.
• Échanger deux lignes inverse le signe du déterminant.
• Multiplier une ligne par un scalaire $k$ multiplie le déterminant par $k$.
• Le déterminant d’une matrice triangulaire est le produit de ses coefficients diagonaux.

Questions fréquentes (FAQ)

Qu’est-ce que le déterminant d’une matrice ?

Le déterminant est un nombre unique calculé à partir d’une matrice carrée, qui résume des propriétés essentielles de la transformation linéaire qu’elle représente. Sa valeur absolue indique de combien la transformation dilate l’aire (2×2) ou le volume (3×3), et son signe indique si l’orientation est conservée ou inversée. Un déterminant nul signifie que la matrice est singulière et n’a pas d’inverse.

Que signifie un déterminant nul ?

Un déterminant nul signifie que la matrice est singulière : ses lignes (ou colonnes) sont linéairement dépendantes, de sorte que la transformation aplatit l’espace dans une dimension inférieure. Une matrice singulière n’a pas d’inverse, et un système linéaire dont la matrice des coefficients est singulière n’a aucune solution ou une infinité.

Quelle est la différence entre le développement par cofacteurs et la règle de Sarrus ?

Les deux donnent le même déterminant 3×3. Le développement par cofacteurs multiplie chaque coefficient de la première ligne par le déterminant de son mineur 2×2 avec des signes alternés ; il se généralise à toute taille.

La règle de Sarrus est un raccourci qui additionne les trois produits diagonaux de gauche à droite et soustrait les trois de droite à gauche ; elle ne fonctionne que pour les matrices 3×3. Cette calculatrice montre la méthode des cofacteurs car elle s’étend aux matrices plus grandes.

Que signifie le déterminant géométriquement ?

Pour une matrice 2×2, le déterminant est égal à l’aire signée du parallélogramme engendré par ses vecteurs colonnes. Pour une matrice 3×3, il est égal au volume signé du parallélépipède engendré par ses trois colonnes. Un signe négatif indique que la transformation inverse l’orientation (une réflexion), et une valeur absolue de un signifie que l’aire ou le volume est conservé.