Dernière mise à jour : 2026-07-01

Ce que fait cette calculatrice

Cette calculatrice détermine l'inverse d'une matrice 2×2. Saisissez les quatre coefficients de A = [[a, b], [c, d]] : elle renvoie le déterminant et les quatre coefficients de A⁻¹, avec une démonstration pas à pas. Lorsque la matrice n'a pas d'inverse, elle l'indique au lieu d'afficher des nombres sans signification.

L'inverse d'une matrice A se note $A^{-1}$ et se définit par la relation $A A^{-1} = A^{-1} A = I$, où $I$ est la matrice identité.

La formule de l'inverse 2×2

Pour une matrice 2×2, l'inverse provient de la comatrice transposée divisée par le déterminant :

Il existe un moyen mnémotechnique simple : échangez les deux coefficients de la diagonale principale ($a$ et $d$), changez le signe des deux coefficients de l'anti-diagonale ($b$ et $c$), puis divisez le tout par le déterminant $ad - bc$.

Le déterminant d'abord

Le déterminant $\det A = ad - bc$ décide si un inverse existe. S'il est non nul, la formule ci-dessus donne l'unique inverse. S'il est nul, la matrice est singulière et n'a pas d'inverse : aucune matrice ne permet de revenir à l'identité par multiplication.

Exemple résolu

Prenons la matrice [[4, 3], [6, 3]].

D'abord le déterminant :

$\det A = (4)(3) - (3)(6) = 12 - 18 = -6$

Comme le déterminant n'est pas nul, l'inverse existe. Appliquons la formule :

Vérifier le résultat

Une bonne habitude consiste à multiplier la matrice de départ par l'inverse et à confirmer que l'on obtient l'identité :

Le produit est la matrice identité, ce qui confirme que l'inverse est correct. De minuscules écarts sur la dernière décimale ne viennent que de l'arrondi des coefficients affichés.

Quand l'inverse n'existe pas

Une matrice 2×2 est singulière lorsque $ad - bc = 0$. Géométriquement, ses deux vecteurs colonnes sont alignés sur une même droite, si bien que la transformation aplatit le plan sur une droite et de l'information est perdue : impossible de l'inverser. Par exemple, [[2, 4], [1, 2]] a un déterminant $(2)(2) - (4)(1) = 0$, elle n'a donc pas d'inverse.

Résoudre Ax = b à l'aide de l'inverse

L'un des principaux usages de l'inverse est la résolution d'un système linéaire. Si $A\mathbf{x} = \mathbf{b}$ et que $A$ est inversible, multiplier les deux membres par $A^{-1}$ donne

$\mathbf{x} = A^{-1}\mathbf{b}.$

Pour un système 2×2, c'est une voie rapide vers la solution une fois l'inverse connu. Lorsque la matrice des coefficients est singulière, le système n'a soit aucune solution, soit une infinité.

Propriétés utiles

• $(A^{-1})^{-1} = A$ : inverser deux fois redonne la matrice de départ.
• $(AB)^{-1} = B^{-1} A^{-1}$ : l'inverse d'un produit inverse l'ordre.
• $\det(A^{-1}) = 1 / \det(A)$ : le déterminant de l'inverse est l'inverse du déterminant.
• $(A^{\mathsf{T}})^{-1} = (A^{-1})^{\mathsf{T}}$ : transposition et inversion commutent.