Skip to content
Généré le: 20 juillet 2026 à 21:34

Calculatrice de loi binomiale négative

Données

Nombre de succès3
Probabilité de succès0,4
Nombre d’échecs4

Visualisation

Valeur de la PMF 0

Généré avec OneCalc · https://onecalc.app/fr/math/negative-binomial-distribution

Mathématiques

Calculatrice de loi binomiale négative

Calculez la probabilité d’exactement k échecs avant le r-ième succès, ainsi que la probabilité cumulée, la moyenne et la variance d’une loi binomiale négative.

Données

Paramètres

≥ 1
0 – 1

Résultats

Saisissez une valeur pour afficher les résultats.

Détails

Probabilités

\begin{aligned} P(X=k) &= \binom{k+r-1}{k} \, p^r (1-p)^k \\ &= \binom{ 4+3-1 }{ 4 } \, 0,4^{ 3 } (1-0,4)^{ 4 } \\ &= ? \end{aligned}
\begin{aligned} P(X \leq k) &= \sum_{i=0}^{k} \binom{i+r-1}{i} \, p^r (1-p)^i \\ &= ? \end{aligned}
\begin{aligned} \mu &= \dfrac{r(1-p)}{p} \\ &= \dfrac{ 3(1-0,4) }{ 0,4 } \\ &= ? \end{aligned}
\begin{aligned} \sigma^2 &= \dfrac{r(1-p)}{p^2} \\ &= \dfrac{ 3(1-0,4) }{ 0,4^2 } \\ &= ? \end{aligned}

Distribution

Valeur de la PMF 0

Intégrer ce calculateur

Aperçu

Collez ce code dans votre page pour afficher le calculateur.

Partager ce calcul

Toute personne ouvrant ce lien verra vos valeurs déjà renseignées.

La loi binomiale négative

La loi binomiale négative est une loi de probabilité discrète qui modélise le nombre d’échecs survenant avant d’atteindre un nombre fixé de succès dans une suite d’essais de Bernoulli indépendants. Chaque essai a la même probabilité de succès p et est indépendant des autres. Elle apparaît dans les tests de fiabilité, l’analyse commerciale et marketing, l’épidémiologie et tout processus qui se poursuit jusqu’à l’accumulation d’un nombre cible de succès.

Formule

Cette calculatrice utilise la convention des échecs avant le succès : X est le nombre d’échecs k observés avant le r-ième succès, donc X ≥ 0. La fonction de masse (PMF) et la fonction de répartition (CDF) sont :

P(X=k)=(k+r−1k) pr(1−p)k,k=0,1,2,…P(X = k) = \binom{k + r - 1}{k} \, p^{r} (1-p)^{k}, \quad k = 0, 1, 2, \ldots P(X≤k)=∑i=0k(i+r−1i) pr(1−p)iP(X \leq k) = \sum_{i=0}^{k} \binom{i + r - 1}{i} \, p^{r} (1-p)^{i}

La moyenne et la variance de X sous cette convention sont :

μ=r(1−p)p,σ2=r(1−p)p2\mu = \frac{r(1-p)}{p}, \qquad \sigma^2 = \frac{r(1-p)}{p^2}

Une seconde convention définit X comme le nombre total d’essais nécessaires pour obtenir r succès (X ≥ r). Cette variable vaut k + r, et sa moyenne est r/p. Les deux conventions décrivent la même expérience.

Exemple résolu

Un inspecteur qualité accepte un lot dès que trois unités ont passé le contrôle. Chaque unité réussit indépendamment avec la probabilité p = 0,40. Quelle est la probabilité que exactement quatre unités échouent avant que la troisième unité ne réussisse ?

Avec r = 3, p = 0,40 et k = 4 :

P(X=4)=(4+3−14)×0,403×0,604=15×0,064×0,1296=0,1244P(X = 4) = \binom{4 + 3 - 1}{4} \times 0{,}40^{3} \times 0{,}60^{4} = 15 \times 0{,}064 \times 0{,}1296 = 0{,}1244

Il y a 12,44 % de chances que exactement quatre unités échouent avant la troisième réussite. La probabilité cumulée de quatre échecs ou moins est :

P(X≤4)=∑i=04(i+2i)×0,403×0,60i=0,5801P(X \leq 4) = \sum_{i=0}^{4} \binom{i+2}{i} \times 0{,}40^{3} \times 0{,}60^{i} = 0{,}5801

Il y a donc 58,01 % de chances qu’au plus quatre unités échouent. Le nombre attendu d’échecs est μ = 3 × 0,60 / 0,40 = 4,5, avec une variance σ² = 3 × 0,60 / 0,40² = 11,25 et un écart-type σ ≈ 3,35.

Démonstration de la formule

Pour que exactement k échecs précèdent le r-ième succès :

  1. Le dernier essai doit être le r-ième succès, ce qui se produit avec la probabilité p.
  2. Parmi les k + r − 1 essais précédents, exactement k sont des échecs et r − 1 des succès. Le nombre d’arrangements est C(k+r−1, k).
  3. Chacun de ces k échecs survient avec la probabilité 1−p et chacun des r − 1 succès avec p. Avec le succès final, les résultats des essais contribuent pour pʳ · (1−p)ᵏ.

Multiplier le nombre d’arrangements par la probabilité des résultats donne C(k+r−1, k) · pʳ · (1−p)ᵏ. La CDF est la somme cumulée de la PMF de 0 à k.

Relation avec d’autres lois

La loi binomiale négative généralise la loi géométrique : en posant r = 1, on compte les échecs avant le premier succès, et P(X = k) = (1−p)ᵏ · p. De façon équivalente, une variable binomiale négative est la somme de r variables géométriques indépendantes de même probabilité de succès p.

Elle est le complément de la loi binomiale. La binomiale fixe le nombre d’essais et traite les succès comme aléatoires ; la binomiale négative fixe le nombre de succès et traite le nombre d’échecs (ou d’essais) comme aléatoire. Lorsque le nombre de succès r est grand et p proche de 1, la loi devient approximativement normale. Lorsque r n’a pas besoin d’être entier, la même formule avec la fonction gamma définit la loi de Polya, étroitement liée et largement utilisée pour modéliser des données de comptage surdispersées.

Applications pratiques

  • Contrôle qualité : modéliser le nombre d’unités défectueuses inspectées avant de trouver un nombre fixé d’unités acceptables.
  • Ventes et marketing : estimer le nombre de contacts infructueux avant d’atteindre un nombre défini de conversions.
  • Épidémiologie et écologie : ajuster des données de comptage surdispersées, où la variance dépasse la moyenne, mieux qu’un modèle de Poisson.
  • Ingénierie de la fiabilité : calculer le nombre attendu de composants défaillants avant qu’un système redondant n’accumule assez de pièces en état de marche.

Questions fréquentes (FAQ)

Qu’est-ce que la loi binomiale négative ?

La loi binomiale négative modélise le nombre d’échecs qui surviennent avant d’atteindre un nombre fixé de succès r dans une suite d’essais de Bernoulli indépendants. Chaque essai a la même probabilité de succès p. Par exemple, avec r = 3 et p = 0,4, la loi décrit combien de tentatives échouées surviennent avant le troisième succès.

Contrairement à la loi binomiale, qui fixe le nombre d’essais et compte les succès, la binomiale négative fixe le nombre de succès et compte les essais (ou échecs) nécessaires pour l’atteindre.

Quelle convention cette calculatrice utilise-t-elle ?

Cette calculatrice compte le nombre d’échecs k avant le r-ième succès, donc k ≥ 0 et P(X = k) = C(k+r−1, k) · pʳ · (1−p)ᵏ. La moyenne est r(1−p)/p et la variance r(1−p)/p². Une variante courante définit X comme le nombre total d’essais nécessaires pour obtenir r succès ; cette variable vaut k + r, son support commence à X ≥ r et sa moyenne est r/p. Les deux conventions décrivent la même expérience et ne diffèrent que de la constante r.

En quoi diffère-t-elle de la loi binomiale ?

La loi binomiale fixe le nombre d’essais n et traite le nombre de succès comme aléatoire. La binomiale négative fait l’inverse : elle fixe le nombre de succès r et traite le nombre d’échecs (ou d’essais) comme aléatoire.

Dans la binomiale, la règle d’arrêt est « s’arrêter après n essais » ; dans la binomiale négative, « s’arrêter après r succès ». Les deux partagent la même probabilité de succès p par essai et les mêmes hypothèses d’indépendance.

Quel est son lien avec la loi géométrique ?

La loi géométrique est le cas particulier de la binomiale négative avec r = 1 : le nombre d’échecs avant le premier succès. En posant r = 1 dans P(X = k) = C(k+r−1, k) · pʳ · (1−p)ᵏ, on obtient P(X = k) = (1−p)ᵏ · p, la PMF géométrique. De façon équivalente, une variable binomiale négative est la somme de r variables géométriques indépendantes de même p.

Recommandations

Calculateur de loi géométrique

Calculez P(X=k), la probabilité cumulée P(X≤k), l'espérance et la variance d'une loi géométrique. Saisissez la probabilité de succès et le numéro d'essai.

 En savoir plus
Calculateur de Probabilité Binomiale

Calculez P(X=k), P(X≤k) et P(X≥k) pour une loi binomiale. Saisissez le nombre d'essais, le nombre de succès et la probabilité de succès par essai.

 En savoir plus
Calculatrice de combinaisons — C(n, r)

Calculez les combinaisons C(n, r) : le nombre de façons de choisir r éléments parmi n sans tenir compte de l'ordre. Jusqu'à n = 20.

 En savoir plus

200+ calculateurs · 10 langues · 100 % gratuit

Ce calculateur vous a-t-il été utile ?

Non

Comment pourrions-nous améliorer ce calculateur ?
Propulsé par OneCalc ↗