Dernière mise à jour : 2026-07-02

La définition d’une parabole par foyer et directrice

Une parabole est l’ensemble de tous les points situés à la même distance d’un point fixe — le foyer — que d’une droite fixe — la directrice. Cette unique condition d’équilibre donne à la parabole sa forme. Le point de rebroussement de la courbe, le sommet, se trouve exactement à mi-chemin entre le foyer et la directrice.

Pour une parabole ouverte verticalement (vers le haut ou vers le bas) de sommet $(h, k)$, la forme canonique est :

$(x - h)^2 = 4p(y - k)$

Le nombre $p$ est la distance focale — la distance algébrique du sommet au foyer. Elle détermine toutes les caractéristiques de la parabole :

$\text{foyer} = (h,\ k + p) \qquad \text{directrice : } y = k - p \qquad \text{axe : } x = h$

Ce calculateur prend le sommet ainsi que $p$ ou le coefficient dominant $a$, et renvoie le foyer, la directrice, l’axe de symétrie, la distance focale et le latus rectum, avec le détail du calcul.

Distance focale, foyer et directrice

Comme le sommet est à mi-chemin entre le foyer et la directrice, ceux-ci se trouvent chacun à une distance $|p|$ du sommet, de part et d’autre. En parcourant $p$ unités le long de l’axe $x = h$ à partir du sommet, on atteint le foyer ; en parcourant $p$ dans l’autre sens, on atteint la directrice.

$\text{foyer} = (h,\ k + p) \qquad \text{directrice : } y = k - p$

Le signe de $p$ fixe le sens d’ouverture. Si $p > 0$, la courbe s’ouvre vers le haut et le foyer est au-dessus du sommet ; si $p < 0$, elle s’ouvre vers le bas et le foyer est en dessous.

Le latus rectum

Le latus rectum est la corde passant par le foyer perpendiculairement à l’axe de symétrie — la « largeur » de la parabole mesurée à la hauteur du foyer. Sa longueur est :

$L = |4p|$

Les extrémités du latus rectum sont $(h - 2p,\ k + p)$ et $(h + 2p,\ k + p)$, une manière rapide de placer deux points supplémentaires à la hauteur du foyer.

La forme avec coefficient

De nombreux manuels écrivent une parabole verticale sous la forme $y = a(x - h)^2 + k$. C’est la même courbe — simplement résolue en $y$. La comparaison avec la forme canonique montre le lien entre le coefficient dominant $a$ et la distance focale $p$ :

$a = \frac{1}{4p} \qquad \Longleftrightarrow \qquad p = \frac{1}{4a}$

Un grand $|a|$ donne une parabole étroite à courte distance focale ; un petit $|a|$ donne une parabole large dont le foyer est loin du sommet. Comme $a$ et $p$ ont toujours le même signe, l’un ou l’autre indique le sens d’ouverture.

Exemple résolu

Problème : Trouver le foyer, la directrice, l’axe de symétrie et le latus rectum de $(x - 1)^2 = 8(y + 2)$.

Étape 1 — lire le sommet. La comparaison avec $(x - h)^2 = 4p(y - k)$ donne $h = 1$ et $k = -2$, donc le sommet est $(1, -2)$.

Étape 2 — trouver la distance focale. Le coefficient de droite est $4p = 8$, donc :

$p = \frac{8}{4} = 2$

Étape 3 — trouver le foyer. Parcours $p = 2$ vers le haut le long de l’axe depuis le sommet :

$\text{foyer} = (h,\ k + p) = (1,\ -2 + 2) = (1,\ 0)$

Étape 4 — trouver la directrice. Parcours $p = 2$ dans l’autre sens :

$y = k - p = -2 - 2 = -4$

Étape 5 — axe et latus rectum.

$\text{axe : } x = h = 1 \qquad L = |4p| = |4 \cdot 2| = 8$

La parabole s’ouvre donc vers le haut avec un foyer $(1, 0)$, une directrice $y = -4$, un axe $x = 1$ et un latus rectum de longueur $8$. Sous forme avec coefficient, la même courbe s’écrit $y = \tfrac{1}{8}(x - 1)^2 - 2$, puisque $a = \tfrac{1}{4p} = \tfrac{1}{8}$.

Lire le graphique

Le graphique cadre ensemble le sommet $V$, le foyer $F$ et la directrice $d$ pour rendre visible l’équilibre qui définit la courbe : choisis un point quelconque de la parabole, et sa distance vers le bas jusqu’à la directrice est égale à sa distance jusqu’au foyer. Le sommet tombe toujours à mi-chemin entre $F$ et $d$, et toute la figure est symétrique par rapport à l’axe $x = h$.

Remarques et limites

Ce calculateur traite les paraboles verticales de la forme $(x - h)^2 = 4p(y - k)$, qui s’ouvrent vers le haut ou vers le bas. Les paraboles horizontales $(y - k)^2 = 4p(x - h)$, qui s’ouvrent vers la gauche ou la droite, échangent les rôles de $x$ et $y$ : leur axe est horizontal, le foyer est en $(h + p, k)$ et la directrice est la droite verticale $x = h - p$. La distance focale $p$ doit être non nulle — en $p = 0$, la courbe dégénère et il n’y a pas de parabole.