Dernière mise à jour : 2026-07-02

Décomposition en éléments simples

La décomposition en éléments simples réécrit une fraction rationnelle comme une somme de fractions plus simples dont les dénominateurs sont les facteurs du dénominateur d’origine. Pour une fraction propre — dont le numérateur est de degré inférieur au dénominateur — à deux facteurs linéaires distincts, la décomposition prend la forme

$$\frac{p\,x + q}{(x - r_1)(x - r_2)} = \frac{A}{x - r_1} + \frac{B}{x - r_2}.$$

Sous cette forme, la fraction est bien plus facile à intégrer, à transformer par Laplace inverse ou à développer en série.

La méthode du cache

Le moyen le plus rapide de trouver $A$ et $B$ est la méthode du cache (de Heaviside).

Étape 1 — Trouver A. Cache le facteur $(x - r_1)$ du dénominateur et évalue ce qui reste en $x = r_1$ :

$$A = \left.\frac{p\,x + q}{x - r_2}\right|_{x = r_1} = \frac{p\,r_1 + q}{r_1 - r_2}.$$

Étape 2 — Trouver B. Cache le facteur $(x - r_2)$ et évalue le reste en $x = r_2$ :

$$B = \left.\frac{p\,x + q}{x - r_1}\right|_{x = r_2} = \frac{p\,r_2 + q}{r_2 - r_1}.$$

Pourquoi la méthode fonctionne

Multiplie les deux membres de la décomposition par $(x - r_1)$ :

$$\frac{p\,x + q}{x - r_2} = A + \frac{B\,(x - r_1)}{x - r_2}.$$

Pose maintenant $x = r_1$. Le second terme contient le facteur $(x - r_1)$ et s’annule, laissant directement $A = (p\,r_1 + q)/(r_1 - r_2)$. Le même raisonnement avec $(x - r_2)$ isole $B$.

Exemple résolu

Décompose $\dfrac{3x - 1}{(x - 1)(x + 2)}$.

Ici $p = 3$, $q = -1$, $r_1 = 1$, $r_2 = -2$.

$$A = \frac{3(1) - 1}{1 - (-2)} = \frac{2}{3}$$ $$B = \frac{3(-2) - 1}{-2 - 1} = \frac{-7}{-3} = \frac{7}{3}$$

Donc

$$\frac{3x - 1}{(x - 1)(x + 2)} = \frac{2/3}{x - 1} + \frac{7/3}{x + 2}.$$

Vérification : en réunissant sur le dénominateur commun,

$$\frac{2}{3}(x + 2) + \frac{7}{3}(x - 1) = \frac{2x + 4 + 7x - 7}{3} = \frac{9x - 3}{3} = 3x - 1. \checkmark$$

Un raccourci utile

Pour le numérateur $p\,x + q$, les deux coefficients vérifient toujours $A + B = p$. L’identification du terme dominant du numérateur recombiné impose que la somme de $A$ et $B$ égale le coefficient de $x$ du numérateur, ce qui offre une vérification rapide.

Des racines distinctes sont nécessaires

La forme $A/(x - r_1) + B/(x - r_2)$ suppose deux facteurs linéaires différents.

Dénominateur	Forme correcte
$(x - r_1)(x - r_2)$, distincts	$\dfrac{A}{x - r_1} + \dfrac{B}{x - r_2}$
$(x - r_1)^2$, répété	$\dfrac{A}{x - r_1} + \dfrac{B}{(x - r_1)^2}$

La formule de la méthode du cache divise par $r_1 - r_2$, qui vaut zéro lorsque les racines coïncident ; un facteur répété exige la seconde forme et sort du cadre de ce calculateur.

Emploi en intégration

Le principal bénéfice est en analyse. Une fraction rationnelle est malaisée à intégrer directement, mais chaque élément simple s’intègre aussitôt :

$$\int \frac{A}{x - r}\,dx = A \ln|x - r| + C.$$

Ainsi, une fois décomposée,

$$\int \frac{p\,x + q}{(x - r_1)(x - r_2)}\,dx = A \ln|x - r_1| + B \ln|x - r_2| + C.$$

Applications

• Intégration des fractions rationnelles en analyse.
• Transformées de Laplace inverses en équations différentielles et théorie du contrôle.
• Développements en série et fonctions génératrices en combinatoire.
• Traitement du signal, où les fonctions de transfert sont scindées en termes du premier ordre.

Questions fréquentes (FAQ)

Qu’est-ce que la décomposition en éléments simples ?

La décomposition en éléments simples réécrit une fraction rationnelle comme une somme de fractions plus simples dont les dénominateurs sont les facteurs du dénominateur d’origine. Pour une fraction propre (px + q) / ((x − r₁)(x − r₂)) à deux facteurs linéaires distincts, la décomposition est A/(x − r₁) + B/(x − r₂). Sous cette forme, la fraction est bien plus facile à intégrer, à transformer par Laplace inverse ou à développer en série.

Comment la méthode du cache trouve-t-elle A et B ?

Pour trouver A, on cache le facteur (x − r₁) du dénominateur et l’on évalue ce qui reste en x = r₁. Comme le second terme A·(x − r₁)/(x − r₁) ne subsiste que si son propre facteur est caché, tout le reste s’annule pour cette valeur. On obtient A = (p·r₁ + q) / (r₁ − r₂). Par symétrie, B = (p·r₂ + q) / (r₂ − r₁). La méthode évite de poser et de résoudre un système linéaire.

Pourquoi les deux racines doivent-elles être distinctes ?

La forme A/(x − r₁) + B/(x − r₂) suppose deux facteurs linéaires différents. Si r₁ = r₂, le dénominateur est un facteur répété (x − r₁)², et la décomposition correcte utilise la forme A/(x − r₁) + B/(x − r₁)². La formule de la méthode du cache divise par (r₁ − r₂), qui vaut zéro lorsque les racines coïncident ; ce calculateur exige donc des racines distinctes.

Comment cela s’utilise-t-il en intégration ?

Une fraction rationnelle est difficile à intégrer directement, mais chaque élément simple A/(x − r) s’intègre aussitôt en A·ln|x − r| + C. Ainsi, une fois (px + q) / ((x − r₁)(x − r₂)) décomposée en A/(x − r₁) + B/(x − r₂), l’intégrale vaut A·ln|x − r₁| + B·ln|x − r₂| + C. C’est la première étape classique pour intégrer les fractions rationnelles en analyse.