Triangle de Pascal

Nombre de lignes N	8
Colonne k	3

Nombre de lignes N

Colonne k

Dernière mise à jour : 2026-07-02

Définition

Le triangle de Pascal est un tableau triangulaire de nombres dans lequel chaque terme est un coefficient binomial. Le sommet est un seul $1$ (ligne $0$ ), et chaque ligne suivante commence et se termine par $1$ . La ligne $n$ contient les coefficients :

\binom{n}{0}, \binom{n}{1}, \ldots, \binom{n}{n}

Ce sont précisément les nombres qui apparaissent dans le développement de $(a + b)^n$ , ce qui place ce triangle au point de rencontre de la combinatoire et de l’algèbre.

Construction

Chaque terme intérieur est la somme des deux termes situés juste au-dessus. C’est la règle de Pascal :

\binom{n}{k} = \binom{n-1}{k-1} + \binom{n-1}{k}

Comme les deux diagonales extérieures valent toujours $1$ (il y a exactement une façon de ne rien choisir ou de tout choisir, donc $\binom{n}{0} = \binom{n}{n} = 1$ ), on peut construire tout le triangle par simple addition à partir du sommet :

Exemple résolu

Construisons $6$ lignes et lisons le terme à la colonne $k = 2$ de la dernière ligne. Avec $N = 6$ , la dernière ligne a l’indice de ligne $N - 1 = 5$ :

1,\ 5,\ 10,\ 10,\ 5,\ 1

Le terme à $k = 2$ est le coefficient binomial $\binom{5}{2}$ :

\binom{5}{2} = \frac{5!}{2!\,(5-2)!} = \frac{120}{2 \cdot 6} = 10

La même valeur découle de la règle de Pascal à partir de la ligne précédente ( $1, 4, 6, 4, 1$ ) :

\binom{5}{2} = \binom{4}{1} + \binom{4}{2} = 4 + 6 = 10

Sommes des lignes

Les termes de la ligne $n$ ont toujours pour somme une puissance de deux :

\sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} = 2^n

Cela découle directement du théorème du binôme avec $a = b = 1$ : $(1 + 1)^n = \sum_k \binom{n}{k} = 2^n$ . Pour la ligne précédente, $1 + 5 + 10 + 10 + 5 + 1 = 32 = 2^5$ , un moyen rapide de vérifier qu’une ligne a été copiée correctement.

Motifs

Plusieurs suites connues se cachent dans le triangle. La diagonale la plus externe n’est faite que de $1$ ; la suivante compte les entiers naturels $1, 2, 3, 4, \ldots$ ; la troisième donne les nombres triangulaires $1, 3, 6, 10, \ldots$ . En additionnant le long des diagonales peu inclinées, on obtient la suite de Fibonacci. Chaque ligne est de plus symétrique :

\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}

elle se lit donc de la même façon de gauche à droite et de droite à gauche : choisir quels $k$ éléments inclure revient à choisir lesquels des $n - k$ laisser de côté.

Questions fréquentes (FAQ)

Qu’est-ce que le triangle de Pascal ?

Le triangle de Pascal est un tableau triangulaire de nombres où chaque terme est un coefficient binomial. Le sommet est un seul 1 (ligne 0), et chaque ligne suivante commence et se termine par 1. La ligne n s’écrit C(n, 0), C(n, 1), …, C(n, n) — les coefficients qui apparaissent dans le développement de (a + b)ⁿ. Par exemple, la ligne 4 est 1, 4, 6, 4, 1, ce qui correspond à (a + b)⁴ = a⁴ + 4a³b + 6a²b² + 4ab³ + b⁴.

Comment chaque terme est-il construit ?

Chaque terme intérieur est la somme des deux termes situés juste au-dessus. C’est la règle de Pascal : C(n, k) = C(n − 1, k − 1) + C(n − 1, k). En partant du 1 au sommet, on peut construire tout le triangle par simple addition, sans jamais calculer de factorielle. Les bords valent toujours 1 car C(n, 0) = C(n, n) = 1.

Pourquoi chaque ligne a-t-elle pour somme une puissance de 2 ?

Les termes de la ligne n ont pour somme 2ⁿ. Cela découle du théorème du binôme avec a = b = 1 : (1 + 1)ⁿ = Σ C(n, k) = 2ⁿ. Ainsi la ligne 0 a pour somme 1, la ligne 1 a pour somme 2, la ligne 2 a pour somme 4 et la ligne 10 a pour somme 1024. C’est un moyen rapide de vérifier qu’une ligne a été écrite correctement.

Quels motifs se cachent dans le triangle de Pascal ?

Plusieurs. La diagonale la plus externe n’est faite que de 1 ; la suivante compte 1, 2, 3, 4, … (les entiers naturels) ; la troisième donne les nombres triangulaires 1, 3, 6, 10, …. En additionnant le long des diagonales peu inclinées, on obtient la suite de Fibonacci. Chaque ligne est de plus symétrique car C(n, k) = C(n, n − k), donc elle se lit de la même façon de gauche à droite et de droite à gauche.

Triangle de Pascal

Données

Triangle de Pascal