Dernière mise à jour : 2026-07-01

Coordonnées polaires et cartésiennes

Un point du plan peut se repérer de deux façons équivalentes. Les coordonnées cartésiennes (x, y) donnent la distance horizontale et verticale par rapport à l’origine. Les coordonnées polaires (r, θ) donnent la distance en ligne droite r depuis l’origine et l’angle θ que forme la droite vers le point avec le demi-axe des x positif. Ce convertisseur passe d’un système à l’autre dans les deux sens, l’angle étant exprimé en degrés ou en radians.

Les deux descriptions désignent le même endroit ; laquelle est la plus commode dépend du problème. Les coordonnées cartésiennes conviennent aux grilles, aux écrans et au calcul composante par composante, tandis que les coordonnées polaires conviennent aux rotations, au mouvement circulaire et à tout ce qui se décrit par une distance et une direction.

Des polaires aux cartésiennes

En abaissant la perpendiculaire du point sur l’axe des x, on obtient un triangle rectangle. Le rayon r est l’hypoténuse, l’angle θ se trouve à l’origine, et les deux côtés de l’angle droit sont exactement les coordonnées :

• x = r·cos θ
• y = r·sin θ

Le cosinus donne le côté horizontal et le sinus le côté vertical, de sorte que les signes de x et de y découlent automatiquement du quadrant de θ.

Des cartésiennes aux polaires

Dans l’autre sens, on inverse le triangle. Le rayon est l’hypoténuse, obtenue par le théorème de Pythagore, et l’angle est la direction du point :

• r = √(x² + y²)
• θ = atan2(y, x)

L’arc tangente à deux arguments atan2(y, x) est utilisé à la place de arctan(y/x) parce que le simple rapport y/x ne distingue pas un point de son opposé : tous deux donnent le même quotient. En gardant x et y séparés, atan2 lit leurs signes et renvoie l’angle dans le bon quadrant, sur toute la plage de −180° à 180° (ou de −π à π en radians). Il est aussi défini quand x = 0, là où arctan(y/x) diviserait par zéro.

Exemple résolu

Problème : Convertir le point cartésien (3, 4) en forme polaire.

Le rayon est la distance à l’origine :

r = √(3² + 4²) = √(9 + 16) = √25 = 5

L’angle est la direction du point :

θ = atan2(4, 3) ≈ 53,13°

Ainsi (3, 4) devient (5, 53,13°). La conversion inverse confirme l’aller-retour : x = 5·cos 53,13° ≈ 3 et y = 5·sin 53,13° ≈ 4.

L’origine et la plage de l’angle

L’origine est le seul point où la forme polaire est ambiguë : avec r = 0, l’angle θ reste indéterminé, car toute direction mène au même point. Hors de l’origine, l’angle renvoyé par atan2 est compris entre −180° et 180°. D’autres conventions existent — certains ouvrages donnent les angles dans [0°, 360°) — de sorte qu’ajouter 360° (ou 2π) à un angle négatif donne la valeur positive équivalente lorsqu’on préfère cette plage.

Choisir les degrés ou les radians

Les degrés et les radians mesurent les mêmes angles : un tour complet vaut 360° ou 2π, et 180° = π. Les degrés sont courants en géométrie, en topographie et en navigation ; les radians sont la norme en analyse et en physique, car ils rendent simples les dérivées des fonctions trigonométriques. Réglez l’unité d’angle sur vos valeurs de départ : la conversion vers et depuis les radians est prise en charge par l’outil.