Dernière mise à jour : 2026-05-18

Définition

Un nombre premier est un entier naturel supérieur à 1 qui n'admet comme diviseurs positifs que 1 et lui-même. En d'autres termes, aucun autre entier ne le divise exactement.

• 2 est premier : divisible uniquement par 1 et 2
• 7 est premier : divisible uniquement par 1 et 7
• 12 est composé : divisible par 1, 2, 3, 4, 6 et 12

Les vingt premiers nombres premiers sont :

$2,\ 3,\ 5,\ 7,\ 11,\ 13,\ 17,\ 19,\ 23,\ 29,\ 31,\ 37,\ 41,\ 43,\ 47,\ 53,\ 59,\ 61,\ 67,\ 71$

Les premiers se raréfient à mesure que les nombres grandissent, mais ils ne s'arrêtent jamais. Euclide a démontré vers 300 av. J.-C. qu'il en existe une infinité.

Statut particulier de 1

La définition moderne d'un nombre premier exige exactement deux diviseurs positifs distincts — 1 et lui-même. Le nombre 1 ne possède qu'un seul diviseur positif (lui-même) et ne satisfait donc pas cette condition.

La raison fondamentale est de préserver le Théorème fondamental de l'arithmétique : tout entier supérieur à 1 admet une décomposition unique en facteurs premiers. Si 1 était premier, cette unicité serait perdue :

$12 = 2^2 \times 3 = 1 \times 2^2 \times 3 = 1^2 \times 2^2 \times 3 = \ldots$

Le 1 est donc appelé unité — ni premier ni composé.

Division d'essai

Pour les entiers de 1 à 1000, cet outil utilise la division d'essai : vérifier la divisibilité par chaque premier jusqu'à $\sqrt{1000} \approx 31{,}6$. Si $n$ n'a aucun facteur premier inférieur ou égal à sa racine carrée, alors $n$ est premier.

Les premiers jusqu'à 31 sont : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31. Tester ces onze valeurs suffit pour tout entier jusqu'à 1000.

Exemple — 97 est-il premier ?

Diviseur	$97 \div d$	Reste
2	48,5	1
3	32,3…	1
5	19,4	2
7	13,857…	6

Aucun premier jusqu'à $\sqrt{97} \approx 9{,}8$ ne divise 97 exactement — 97 est premier.

Exemple — 91 est-il premier ?

$91 \div 7 = 13$ avec reste 0. Comme 7 divise 91, 91 est composé ($91 = 7 \times 13$), avec 7 comme plus petit facteur premier.

Le crible d'Ératosthène

Pour trouver tous les premiers jusqu'à une borne donnée, le crible d'Ératosthène est bien plus efficace que la division individuelle :

1. Écrire tous les entiers de 2 à $N$.
2. Barrer tous les multiples de 2 (4, 6, 8…).
3. Passer au prochain nombre non barré (3) et barrer ses multiples.
4. Recommencer jusqu'à $\sqrt{N}$.

Tous les nombres non barrés sont premiers. La complexité est $O(N \log \log N)$.

Nombres premiers et cryptographie

Presque toute la cryptographie à clé publique repose sur une asymétrie fondamentale : multiplier deux grands premiers est rapide, mais factoriser leur produit est pratiquement infaisable avec les ordinateurs actuels.

Le chiffrement RSA (HTTPS, signatures numériques) fonctionne ainsi :

1. On choisit deux grands premiers $p$ et $q$ (typiquement 1024–4096 bits).
2. On calcule $n = p \times q$ et on le publie dans la clé publique.
3. Un attaquant doit factoriser $n$ — une opération dont la durée dépasse l'âge de l'univers.

Cette fonction à sens unique est le fondement de la communication sécurisée sur internet.

Référence rapide

Nombre	Premier ?	Plus petit facteur
1	Non (unité)	—
2	Oui	2 (lui-même)
4	Non	2
17	Oui	17 (lui-même)
49	Non	7
97	Oui	97 (lui-même)
100	Non	2
997	Oui	997 (lui-même)

Questions fréquentes (FAQ)

Qu'est-ce qu'un nombre premier ?

Un nombre premier est un entier naturel supérieur à 1 qui ne possède que deux diviseurs positifs : 1 et lui-même. Par exemple, 2, 3, 5, 7, 11 et 13 sont premiers. Le nombre 12 n'est pas premier car il est divisible par 2, 3, 4 et 6. Tout entier supérieur à 1 se décompose de façon unique en facteurs premiers — c'est le Théorème fondamental de l'arithmétique.

Pourquoi 1 n'est-il pas un nombre premier ?

La définition d'un nombre premier exige exactement deux diviseurs positifs distincts : 1 et lui-même. Le nombre 1 n'a qu'un seul diviseur positif (lui-même). Si 1 était premier, la décomposition en facteurs premiers ne serait plus unique : 12 = 2² × 3 = 1 × 2² × 3 = 1² × 2² × 3 …, donnant une infinité de décompositions.

Quels sont les dix premiers nombres premiers ?

Les dix premiers nombres premiers sont 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 et 29. Le 2 est le seul nombre premier pair ; tout autre nombre pair est divisible par 2. Euclide a prouvé vers 300 av. J.-C. qu'il existe une infinité de nombres premiers.

Pourquoi les nombres premiers sont-ils essentiels en cryptographie ?

La cryptographie à clé publique — notamment RSA, utilisé pour HTTPS et les signatures numériques — repose sur l'asymétrie entre multiplication (facile) et factorisation (difficile). Multiplier deux grands nombres premiers est rapide, mais retrouver ces deux facteurs à partir de leur produit est pratiquement infaisable avec les ordinateurs actuels. Les clés RSA actuelles utilisent des premiers de plusieurs centaines de chiffres.