Dernière mise à jour : 2026-05-18

La pyramide

Une pyramide est un solide dont la base est un polygone et dont les faces latérales sont des triangles qui se rejoignent en un sommet unique. Ce calculateur traite les pyramides droites à base rectangulaire — la pyramide à base carrée en est un cas particulier.

Formules

Avec la longueur de base $l$, la largeur de base $w$ et la hauteur verticale $h$ :

Aire de la base :

Volume — toujours un tiers du prisme équivalent :

Apothème — distance du sommet au milieu d'une arête de la base, mesurée le long de la face triangulaire. Pour une pyramide rectangulaire, chaque paire de faces opposées possède son propre apothème :

Pour une pyramide carrée ($l = w = a$), les deux apothèmes sont égaux : $l_s = \sqrt{h^2 + (a/2)^2}$

Aire latérale — somme des quatre faces triangulaires :

Aire totale :

Origine du facteur $\frac{1}{3}$

Toute pyramide a exactement un tiers du volume du prisme de même base et de même hauteur. La preuve classique consiste à assembler trois pyramides carrées congruentes pour former un cube — chacune occupe précisément $\frac{1}{3}$ du volume du cube. La démonstration générale s'appuie sur le principe de Cavalieri : à la hauteur $z$, la section transversale a pour aire $A_b \times (1 - z/h)^2$, dont l'intégrale de $0$ à $h$ vaut $\frac{1}{3} A_b h$.

Apothème et hauteur verticale

La hauteur verticale $h$ est la distance perpendiculaire du sommet au plan de la base. L'apothème $l_s$ est la distance du sommet au milieu d'une arête de la base, mesurée sur la surface de la face triangulaire. Ces deux grandeurs sont reliées par un triangle rectangle : $l_s = \sqrt{h^2 + r^2}$, où $r$ est la distance du centre de la base au milieu de l'arête concernée.

Concrètement, l'apothème correspond à la mesure que l'on obtiendrait en posant une règle sur la face de la pyramide du sommet jusqu'au milieu de l'arête inférieure.

Exemple de calcul : Grande Pyramide de Gizeh et Pyramide du Louvre

La Grande Pyramide de Gizeh a une base carrée d'environ 230,4 m de côté et une hauteur d'origine de 146,5 m.

Aire de la base : $A_b = 230{,}4^2 = 53{\ }084 \text{ m}^2 \approx 5{,}3 \text{ ha}$

Volume : $V = \frac{1}{3} \times 53{\ }084 \times 146{,}5 \approx 2{\ }592{\ }000 \text{ m}^3$

Cela représente environ 2,6 millions de mètres cubes, soit le remplissage de près de 1 000 piscines olympiques.

Apothème : $l_s = \sqrt{146{,}5^2 + 115{,}2^2} \approx 186{,}4 \text{ m}$

Aire latérale : $A_{lat} \approx 85{\ }944 \text{ m}^2 \approx 8{,}6 \text{ ha}$

Plus près de nous, la Pyramide du Louvre (I. M. Pei, 1989) offre un bel exemple contemporain : base carrée de 35 m et hauteur de 21,6 m. Son volume se calcule ainsi : $\frac{35^2 \times 21{,}6}{3} \approx 8{\ }820 \text{ m}^3$.