Dernière mise à jour : 2026-05-19

Le discriminant

Le discriminant d'une équation du second degré ax² + bx + c = 0 est l'expression D = b² − 4ac. Il permet de déterminer la nature des racines sans effectuer le calcul complet. Son signe suffit à savoir si l'équation admet deux racines réelles distinctes, une racine double ou deux racines complexes conjuguées. C'est un outil fondamental en mathématiques au lycée, et plus largement en physique et en ingénierie dès qu'on manipule des équations du second degré.

Calcul pas à pas

1. Calculer le carré du coefficient central : b²
2. Calculer le produit des coefficients extrêmes, multiplié par quatre : 4 · a · c
3. Soustraire : D = b² − 4ac

Aucune racine carrée ni fraction n'est nécessaire à cette étape. Le signe du résultat détermine directement la nature des racines.

Signe du discriminant et nature des racines

Quand D = 0, le sommet de la parabole se trouve exactement sur l'axe des abscisses, et la seule racine réelle est x = −b / (2a).

Exemples résolus

Exemple 1 — D > 0 (deux racines réelles distinctes)

Équation : x² − 5x + 6 = 0 (a = 1, b = −5, c = 6)

Calcul : b² = 25, 4ac = 24, D = 25 − 24 = 1

Comme D = 1 > 0, l'équation admet deux racines réelles distinctes. En appliquant la formule du second degré, on obtient x₁ = 2 et x₂ = 3, points d'intersection de la parabole y = x² − 5x + 6 avec l'axe des abscisses.

Exemple 2 — D = 0 (racine double)

Équation : x² − 6x + 9 = 0 (a = 1, b = −6, c = 9)

Calcul : b² = 36, 4ac = 36, D = 36 − 36 = 0

La racine double est x = −(−6) / (2 · 1) = 3. L'équation se factorise en (x − 3)² = 0 ; la parabole est tangente à l'axe des abscisses en son sommet, x = 3.

Exemple 3 — D < 0 (racines complexes)

Équation : x² + x + 1 = 0 (a = 1, b = 1, c = 1)

Calcul : b² = 1, 4ac = 4, D = 1 − 4 = −3

Comme D = −3 < 0, il n'existe pas de racine réelle. Les deux racines sont les complexes conjugués $x = (-1 \pm \sqrt{3}\,i) / 2 \approx -0{,}5 \pm 0{,}866i$. La valeur $\sqrt{|D|} = \sqrt{3} \approx 1{,}732$, affichée par ce calculateur, correspond au module de la partie imaginaire.

Lien avec la formule du second degré

La formule du second degré est :

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

Le radicande sous la racine carrée est précisément le discriminant D. Lorsque D > 0, $\sqrt{D}$ est réel et positif, et le ± fournit deux racines distinctes. Lorsque D = 0, la racine s'annule et il ne reste qu'une racine unique. Lorsque D < 0, la racine n'est pas réelle et la formule produit deux nombres complexes conjugués. Calculer D en premier permet d'identifier à l'avance dans quel cas on se trouve, sans aller jusqu'au calcul des racines.

Cas particulier : a = 0

Si a = 0, l'équation ax² + bx + c = 0 se réduit à l'équation du premier degré bx + c = 0. La formule D = b² − 4ac donne bien un résultat (b²), mais celui-ci n'a plus de signification en tant que discriminant d'une équation du second degré. Ce calculateur impose a ≠ 0 et affiche un message d'erreur si a = 0. La solution de l'équation linéaire est x = −c / b (pour b ≠ 0).