Résolution d'équations du second degré

Dernière mise à jour : 2026-05-13

Qu'est-ce qu'une équation du second degré ?

Une équation du second degré est une équation dont le terme de plus haut degré est $x^2$. Elle s'écrit sous la forme canonique :

$ax^2 + bx + c = 0 \quad (a \neq 0)$

Les coefficients $a$, $b$ et $c$ sont des nombres réels. La condition $a \neq 0$ est impérative : si $a$ était nul, l'équation serait du premier degré.

La formule quadratique

Les racines s'obtiennent grâce à la formule suivante, aussi appelée « formule du discriminant » ou simplement formule quadratique :

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

Le signe ± produit deux racines :

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}, \qquad x_2 = \frac{-b - \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

Le discriminant

L'expression $D = b^2 - 4ac$ sous le radical est appelée discriminant. Son signe détermine la nature des racines :

Discriminant	Nature des racines
$D > 0$	deux racines réelles distinctes
$D = 0$	une racine réelle double
$D < 0$	deux racines complexes conjuguées

Racine double (D = 0)

Lorsque le discriminant est nul, les deux racines sont confondues :

$x_1 = x_2 = -\frac{b}{2a}$

Cette valeur correspond à l'abscisse du sommet de la parabole associée.

Racines complexes (D < 0)

Si le discriminant est négatif, $\sqrt{D}$ n'a pas de valeur réelle. Les racines deviennent complexes :

$x = \alpha \pm \beta i$

avec

$\alpha = -\frac{b}{2a}, \qquad \beta = \frac{\sqrt{-D}}{2|a|}$

$\alpha$ est la partie réelle et $\beta$ la partie imaginaire. Pour les équations à coefficients réels, les racines complexes apparaissent toujours en paires conjuguées.

Lien avec la parabole

Les racines de $ax^2 + bx + c = 0$ sont les abscisses des points d'intersection de la parabole $y = ax^2 + bx + c$ avec l'axe des abscisses.

• $D > 0$ : la parabole coupe l'axe en deux points distincts.
• $D = 0$ : la parabole est tangente à l'axe (le sommet est sur l'axe).
• $D < 0$ : la parabole ne coupe pas l'axe des abscisses.

Exemple : $x^2 - 3x + 2 = 0$

Avec $a = 1$, $b = -3$, $c = 2$ :

$D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 9 - 8 = 1$

$x = \frac{3 \pm \sqrt{1}}{2} = \frac{3 \pm 1}{2}$

$x_1 = 2, \qquad x_2 = 1$

Utilisation de la calculatrice

Entrez les coefficients $a$, $b$ et $c$ : la calculatrice détermine automatiquement le discriminant et les racines.

• Discriminant $\geq 0$ : les racines $x_1$ et $x_2$ s'affichent dans la section « Racines réelles ».
• Discriminant $< 0$ : la partie réelle $\alpha$ et la partie imaginaire $\beta$ s'affichent dans « Racines complexes ».

Questions fréquentes (FAQ)

Quelle est la formule du discriminant pour résoudre une équation du second degré ?

Pour ax² + bx + c = 0, les racines sont x = (−b ± √(b² − 4ac)) ÷ (2a). Le ± fournit deux racines, appelées x₁ (avec +) et x₂ (avec −). Ces racines sont les abscisses des points d'intersection de la parabole y = ax² + bx + c avec l'axe des abscisses.

Que nous indique le discriminant ?

Le discriminant D = b² − 4ac détermine la nature des racines. Si D > 0, il existe deux racines réelles distinctes. Si D = 0, il existe une unique racine réelle double (x₁ = x₂ = −b ÷ 2a). Si D < 0, les racines sont complexes conjuguées et il n'y a pas de racine réelle.

Quelles sont les racines complexes quand D < 0 ?

Lorsque le discriminant est négatif, les racines sont complexes conjuguées : x = α ± βi, où α = −b ÷ (2a) est la partie réelle et β = √(−D) ÷ (2|a|) est la partie imaginaire. Pour les équations à coefficients réels, les racines complexes apparaissent toujours par paires conjuguées.