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Généré le: 20 juillet 2026 à 21:34

Erreur type de la moyenne

Données

Écart type de l'échantillon12
Taille de l'échantillon36
Niveau de confiance95%
Moyenne de l'échantillon100

Généré avec OneCalc · https://onecalc.app/fr/math/standard-error

Mathématiques

Erreur type de la moyenne

Calculez l'erreur type de la moyenne (ETM) à partir de l'écart type et de la taille de l'échantillon avec ETM = s/√n, puis construisez l'intervalle de confiance x̄ ± z·ETM. Saisissez l'écart type, la taille de l'échantillon, le niveau de confiance et la moyenne de l'échantillon.

Données

≥ 1

Résultats

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\begin{aligned} \text{SEM} &= \dfrac{s}{\sqrt{n}} \\ &= \dfrac{12}{\sqrt{36}} \\ &= ? \end{aligned}

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Ce que fait cette calculatrice

Cette calculatrice détermine l'erreur type de la moyenne (ETM) à partir de l'écart type et de la taille d'un échantillon, et construit l'intervalle de confiance autour de la moyenne d'échantillon. Saisissez l'écart type, la taille de l'échantillon, le niveau de confiance et la moyenne d'échantillon observée.

Ce qu'est l'erreur type de la moyenne

Lorsqu'on estime une moyenne à partir d'un échantillon, cette estimation n'est jamais exacte : un autre échantillon aléatoire donnerait une moyenne légèrement différente. L'erreur type de la moyenne quantifie cette incertitude : c'est l'écart type de la distribution d'échantillonnage de la moyenne, c'est-à-dire de combien la moyenne d'échantillon devrait varier d'un échantillon à l'autre.

Une erreur type faible signifie que votre moyenne d'échantillon cerne étroitement la moyenne de la population ; une erreur type élevée signifie que l'estimation est lâche. C'est l'ingrédient clé des intervalles de confiance et des tests d'hypothèse sur une moyenne.

La formule

ETM=sn\text{ETM} = \frac{s}{\sqrt{n}}
  • ETM — l'erreur type de la moyenne
  • s — l'écart type de l'échantillon
  • n — la taille de l'échantillon

L'écart type mesure la dispersion des données brutes ; diviser par n\sqrt{n} la convertit en dispersion de la moyenne. Moyenner de nombreuses observations annule le bruit individuel, de sorte que la moyenne est plus stable que n'importe quel point de données isolé — et plus on moyenne, plus elle est stable.

Intervalle de confiance

Une fois l'erreur type obtenue, un intervalle de confiance pour la moyenne de la population est la moyenne d'échantillon plus ou moins une valeur critique multipliée par l'erreur type :

xˉ±z⋅ETM\bar{x} \pm z \cdot \text{ETM}

La valeur critique zz provient de la loi normale centrée réduite et est fixée par le niveau de confiance (1,645 pour 90 %, 1,96 pour 95 %, 2,576 pour 99 %). À 95 % de confiance, cela signifie que si l'étude était répétée de nombreuses fois, environ 95 % des intervalles ainsi construits contiendraient la vraie moyenne de la population.

Erreur type contre écart type

Les deux mesurent la « dispersion » et se confondent donc aisément, mais ils décrivent des choses différentes :

GrandeurDécrit la dispersion de…Comportement quand n augmente
Écart type (s)des observations individuelles d'un échantillonreste à peu près constant
Erreur type (ETM)de la moyenne d'échantillon sur les échantillonstend vers zéro (∝ 1/√n)

Collecter plus de données ne rend pas les valeurs individuelles moins variables : l'écart type est donc stable. Mais cela rend la moyenne plus fiable, si bien que l'erreur type continue de baisser.

Pourquoi l'erreur type diminue en √n

Comme la taille de l'échantillon entre sous une racine carrée, l'erreur type diminue proportionnellement à 1/n1/\sqrt{n} plutôt qu'inversement à nn. Cela produit des rendements décroissants :

Taille d'échantillon nErreur type relative
1001,00
4000,50
1 6000,25
6 4000,125

Pour diviser par deux l'erreur type, il faut quadrupler l'échantillon. Chaque unité supplémentaire de précision devient progressivement plus coûteuse.

Exemple résolu

Supposons qu'un échantillon de taille 36 ait un écart type de 12 et une moyenne de 100, et qu'on cherche un intervalle de confiance à 95 %. La valeur critique est 1,96 :

ETM=sn=1236=126=2xˉ±z⋅ETM=100±1,96×2=100±3,92=(96,08, 103,92)\begin{aligned} \text{ETM} &= \frac{s}{\sqrt{n}} = \frac{12}{\sqrt{36}} = \frac{12}{6} = 2 \\ \bar{x} \pm z \cdot \text{ETM} &= 100 \pm 1{,}96 \times 2 \\ &= 100 \pm 3{,}92 = (96{,}08,\ 103{,}92) \end{aligned}

L'erreur type de la moyenne est 2, et l'intervalle de confiance à 95 % s'étend de 96,08 à 103,92. Sur la base de cet échantillon, la moyenne de la population se situe vraisemblablement quelque part dans cette plage.

Lorsque l'écart type est estimé sur un petit échantillon

L'intervalle ci-dessus utilise la valeur normale zz, appropriée lorsque l'écart type de la population est connu ou que l'échantillon est assez grand pour que ss soit un substitut fiable. Une règle courante est n≥30n \geq 30.

Lorsque ss est estimé sur un petit échantillon, remplacez zz par une valeur de la loi de Student (t), qui a des queues plus lourdes pour tenir compte de l'incertitude supplémentaire :

xˉ±t n−1⋅sn\bar{x} \pm t_{\,n-1} \cdot \frac{s}{\sqrt{n}}

La valeur t dépend des degrés de liberté, un de moins que la taille de l'échantillon, et est toujours un peu plus grande que la valeur z correspondante, ce qui élargit l'intervalle. À mesure que n augmente, la valeur t converge de nouveau vers z.

Calculatrices associées

L'Calculateur d'Intervalle de Confiance construit l'intervalle complet autour de votre estimation pour les moyennes et les proportions, et le Calculateur de marge d'erreur fournit directement la demi-largeur z⋅ETMz \cdot \text{ETM}. Pour déterminer d'abord l'écart type à partir de données brutes, utilisez le Calculatrice de variance et d'écart type.

Questions fréquentes (FAQ)

Qu'est-ce que l'erreur type de la moyenne ?

L'erreur type de la moyenne (ETM) mesure avec quelle précision une moyenne d'échantillon estime la vraie moyenne de la population. C'est l'écart type de la distribution d'échantillonnage de la moyenne, c'est-à-dire de combien la moyenne d'échantillon varierait si l'on tirait de façon répétée de nouveaux échantillons de même taille dans la population.

Une erreur type faible signifie que la moyenne d'échantillon est une estimation précise ; une erreur type élevée signifie qu'elle peut s'écarter davantage. Elle se calcule en divisant l'écart type de l'échantillon par la racine carrée de la taille de l'échantillon.

En quoi l'erreur type diffère-t-elle de l'écart type ?

L'écart type (s) décrit la dispersion des observations individuelles au sein d'un même échantillon : à quelle distance de la moyenne se situe un point de données typique. L'erreur type (ETM) décrit la dispersion de la moyenne d'échantillon sur des échantillons répétés hypothétiques : à quelle distance de la vraie moyenne de la population se situe une moyenne d'échantillon typique.

Comme ETM = s/√n, l'erreur type est toujours plus petite que l'écart type (pour n > 1) et diminue à mesure que l'échantillon grandit, tandis que l'écart type reste à peu près constant quel que soit le nombre d'observations recueillies.

Comment la taille de l'échantillon influence-t-elle l'erreur type ?

L'erreur type diminue proportionnellement à 1/√n, et non à 1/n. Comme la taille de l'échantillon est sous une racine carrée, réduire de moitié l'erreur type exige de quadrupler l'échantillon. Passer de 100 à 400 observations réduit l'erreur type de moitié ; passer de 400 à 1 600 la réduit encore de moitié. Cette loi en racine carrée explique pourquoi chaque unité supplémentaire de précision devient progressivement plus coûteuse.

Quand utiliser z plutôt que t pour l'intervalle ?

Cette calculatrice utilise la valeur z de la loi normale centrée réduite (1,645, 1,96, 2,576 pour 90 %, 95 %, 99 %), ce qui convient lorsque l'écart type de la population est connu ou que l'échantillon est grand ; une règle courante est n ≥ 30.

Lorsque l'écart type est estimé à partir d'un petit échantillon, utilisez plutôt la loi de Student (t). Elle a des queues plus lourdes et une valeur critique qui dépend des degrés de liberté (n − 1), donnant un intervalle un peu plus large. À mesure que n augmente, la valeur t converge vers la valeur z.

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