Résoudre un système d'équations 2×2 — Règle de Cramer

Dernière mise à jour : 2026-05-19

Système d'équations linéaires à deux inconnues

Un système de deux équations linéaires à deux inconnues est un ensemble de deux relations de la forme :

$$a_1 x + b_1 y = c_1 \\ a_2 x + b_2 y = c_2$$

où a₁, b₁, a₂, b₂ sont les coefficients et c₁, c₂ les seconds membres. Résoudre ce système revient à trouver le couple (x, y) qui vérifie simultanément les deux équations. Cette calculatrice applique la règle de Cramer à partir des six coefficients saisis, détermine x et y étape par étape, et signale si le système est incompatible (aucune solution) ou indéterminé (infinité de solutions).

La règle de Cramer

On calcule d'abord le déterminant de la matrice des coefficients :

$D = a_1 b_2 - a_2 b_1$

Lorsque D ≠ 0, la solution unique du système est :

$x = \frac{c_1 b_2 - c_2 b_1}{D}, \quad y = \frac{a_1 c_2 - a_2 c_1}{D}$

Chaque numérateur est le déterminant de la matrice obtenue en remplaçant une colonne de coefficients par le vecteur du second membre. C'est l'expression développée de la formule $\mathbf{x} = A^{-1}\mathbf{b}$ composante par composante.

Sens géométrique

Chaque équation $ax + by = c$ représente une droite dans le plan. Résoudre le système, c'est trouver le point d'intersection de ces deux droites.

• D ≠ 0 (solution unique) : les droites se coupent en un point. La matrice est inversible.
• D = 0 et numérateurs nuls (infinité de solutions) : les droites sont confondues — une équation est proportionnelle à l'autre. Tout point de la droite commune est solution.
• D = 0 et au moins un numérateur non nul (aucune solution) : les droites sont strictement parallèles. Aucun couple (x, y) ne vérifie les deux équations simultanément.

Exemple détaillé

Résolvons le système proposé par défaut :

$2x + 3y = 8 \quad \text{et} \quad x - y = 1$

Étape 1 — Calcul du déterminant :

$D = (2)(-1) - (1)(3) = -2 - 3 = -5$

Comme D ≠ 0, le système admet une solution unique.

Étape 2 — Calcul de x :

$x = \frac{(8)(-1) - (1)(3)}{-5} = \frac{-11}{-5} = \frac{11}{5} = 2{,}2$

Étape 3 — Calcul de y :

$y = \frac{(2)(1) - (1)(8)}{-5} = \frac{-6}{-5} = \frac{6}{5} = 1{,}2$

Vérification :

$2 \times 2{,}2 + 3 \times 1{,}2 = 4{,}4 + 3{,}6 = 8 \checkmark \quad \text{et} \quad 2{,}2 - 1{,}2 = 1 \checkmark$

Quand le déterminant est nul

Si D = 0, les deux lignes de la matrice des coefficients sont colinéaires : $[a_1, b_1] = k\,[a_2, b_2]$. La nature du système dépend alors du second membre :

• Si $c_1 = k\,c_2$, les deux numérateurs de Cramer sont nuls → infinité de solutions.
• Si $c_1 \neq k\,c_2$, au moins un numérateur est non nul → aucune solution.

En pratique, il suffit de calculer $c_1 b_2 - c_2 b_1$ et $a_1 c_2 - a_2 c_1$ : si les deux sont nuls avec D = 0, le système est indéterminé ; sinon, il est incompatible.

Questions fréquentes (FAQ)

À quoi sert le déterminant dans un système d'équations ?

Le déterminant D = a₁b₂ − a₂b₁ indique si la matrice des coefficients est inversible. Si D ≠ 0, les deux droites se coupent en un seul point : le système admet une solution unique. Si D = 0, les droites sont parallèles ou confondues, et le système est soit incompatible (aucune solution), soit indéterminé (infinité de solutions).

Quand un système a-t-il une infinité de solutions ?

Lorsque les deux équations décrivent la même droite — c'est-à-dire que l'une est un multiple de l'autre — le déterminant et les deux numérateurs de Cramer sont nuls. Chaque point de cette droite vérifie simultanément les deux équations.

Règle de Cramer ou substitution : quelle méthode choisir ?

La substitution est pratique pour des systèmes simples résolus à la main. La règle de Cramer fournit directement une formule fermée, ce qui est avantageux quand la matrice des coefficients est fixe et que seul le second membre varie, ou quand on veut exprimer la solution en fonction des coefficients symboliques.

Pourquoi D = 0 ne signifie pas toujours qu'il n'y a pas de solution ?

D = 0 signifie uniquement que la matrice des coefficients est singulière : les deux lignes sont colinéaires. Si le second membre respecte la même proportionnalité, le système est compatible indéterminé (infinité de solutions). Ce n'est que lorsqu'au moins un numérateur de Cramer est non nul que le système est véritablement incompatible.