Dernière mise à jour : 2026-07-01

Ce que fait ce calculateur

Ce calculateur résout un système de trois équations linéaires à trois inconnues, x, y et z :

$$a_1 x + b_1 y + c_1 z = d_1 \\ a_2 x + b_2 y + c_2 z = d_2 \\ a_3 x + b_3 y + c_3 z = d_3$$

À partir des douze coefficients et constantes, il applique la règle de Cramer pour renvoyer la solution unique (x, y, z), ou signale que le système n’admet pas de solution unique lorsque la matrice des coefficients est singulière.

Règle de Cramer pour un système 3×3

La règle de Cramer exprime chaque inconnue comme un rapport de déterminants. On calcule d’abord le déterminant de la matrice des coefficients :

$$D = \begin{vmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \end{vmatrix} = a_1(b_2 c_3 - c_2 b_3) - b_1(a_2 c_3 - c_2 a_3) + c_1(a_2 b_3 - b_2 a_3)$$

Lorsque D ≠ 0, la solution unique est :

$$x = \frac{D_x}{D}, \quad y = \frac{D_y}{D}, \quad z = \frac{D_z}{D}$$

Chaque déterminant du numérateur est le déterminant des coefficients dont une colonne est remplacée par la colonne des constantes (d₁, d₂, d₃) :

$$D_x = \begin{vmatrix} d_1 & b_1 & c_1 \\ d_2 & b_2 & c_2 \\ d_3 & b_3 & c_3 \end{vmatrix}, \quad D_y = \begin{vmatrix} a_1 & d_1 & c_1 \\ a_2 & d_2 & c_2 \\ a_3 & d_3 & c_3 \end{vmatrix}, \quad D_z = \begin{vmatrix} a_1 & b_1 & d_1 \\ a_2 & b_2 & d_2 \\ a_3 & b_3 & d_3 \end{vmatrix}$$

Cela découle directement de l’algèbre linéaire : pour une matrice A inversible, la solution de Av = d est v = A⁻¹d, et la règle de Cramer est cet inverse écrit déterminant par déterminant.

Signification géométrique

Chaque équation décrit un plan dans l’espace à trois dimensions. Résoudre le système revient à trouver le point où les trois plans se rencontrent.

• D ≠ 0 (solution unique) : Les trois plans se coupent en exactement un point. La matrice des coefficients est inversible.
• D = 0 (pas de solution unique) : Les plans ne se coupent pas en un seul point. Ils partagent une droite commune (infinité de solutions) ou n’ont aucun point commun (aucune solution). La règle de Cramer ne peut pas renvoyer une réponse unique dans ce cas.

Exemple résolu

Résolvons le système par défaut :

$$2x + y - z = 8 \\ -3x - y + 2z = -11 \\ -2x + y + 2z = -3$$

Étape 1 — déterminant de la matrice des coefficients :

$$D = 2\big((-1)(2) - (2)(1)\big) - 1\big((-3)(2) - (2)(-2)\big) + (-1)\big((-3)(1) - (-1)(-2)\big)$$ $$D = 2(-4) - 1(-2) + (-1)(-5) = -8 + 2 + 5 = -1$$

D ≠ 0, il existe donc une solution unique.

Étape 2 — résoudre x (remplacer la colonne de x par les constantes) :

$$D_x = \begin{vmatrix} 8 & 1 & -1 \\ -11 & -1 & 2 \\ -3 & 1 & 2 \end{vmatrix} = -2 \quad\Rightarrow\quad x = \frac{-2}{-1} = 2$$

Étape 3 — résoudre y (remplacer la colonne de y par les constantes) :

$$D_y = \begin{vmatrix} 2 & 8 & -1 \\ -3 & -11 & 2 \\ -2 & -3 & 2 \end{vmatrix} = -3 \quad\Rightarrow\quad y = \frac{-3}{-1} = 3$$

Étape 4 — résoudre z (remplacer la colonne de z par les constantes) :

$$D_z = \begin{vmatrix} 2 & 1 & 8 \\ -3 & -1 & -11 \\ -2 & 1 & -3 \end{vmatrix} = 1 \quad\Rightarrow\quad z = \frac{1}{-1} = -1$$

Vérification :

$$2(2) + 3 - (-1) = 8 \checkmark \quad -3(2) - 3 + 2(-1) = -11 \checkmark \quad -2(2) + 3 + 2(-1) = -3 \checkmark$$

Lorsque le déterminant est nul

Si D = 0, les trois lignes de la matrice des coefficients sont linéairement dépendantes — une équation est une combinaison des autres. Deux issues sont possibles :

• Infinité de solutions : les constantes sont compatibles avec la dépendance, donc les plans partagent toute une droite de points communs.
• Aucune solution : les constantes contredisent la dépendance, donc les plans ne se rencontrent jamais en un point.

La règle de Cramer ne s’applique que pour D ≠ 0, c’est pourquoi le calculateur affiche « pas de solution unique » dès que D = 0. Pour classer précisément le cas dégénéré, réduisez la matrice augmentée par élimination de Gauss et comparez le rang de la matrice des coefficients à celui de la matrice augmentée.

Applications

Les systèmes linéaires à trois variables apparaissent dans les cours d’algèbre et de pré-calcul, dans l’analyse des circuits (lois de Kirchhoff sur trois mailles), dans l’équilibrage des réactions chimiques et partout où trois conditions linéaires doivent être satisfaites simultanément. La règle de Cramer donne une réponse directe sous forme fermée, ce qui la rend pratique pour vérifier un petit système ou exprimer une solution de façon symbolique.

Questions fréquentes (FAQ)

Que m’indique le déterminant ?

Le déterminant D de la matrice des coefficients détermine si le système possède une réponse unique. Lorsque D ≠ 0, les trois plans se coupent en exactement un point, donc x, y et z sont déterminés de façon unique. Lorsque D = 0, les plans sont disposés de sorte qu’ils partagent toute une droite ou aucun point commun, et la règle de Cramer ne peut pas renvoyer une solution unique.

En quoi la règle de Cramer diffère-t-elle de l’élimination ?

L’élimination de Gauss et la substitution aboutissent au même résultat par des opérations sur les lignes effectuées pas à pas.

La règle de Cramer écrit au contraire chaque inconnue directement comme un rapport de déterminants : x = Dₓ/D, y = D_y/D, z = D_z/D. Elle est commode pour obtenir une expression fermée et pour les systèmes que l’on souhaite évaluer de manière symbolique, même si l’élimination est généralement plus rapide pour les grands systèmes.

Pourquoi mon système affiche-t-il « pas de solution unique » ?

Ce message apparaît dès que D = 0. Les trois équations sont alors linéairement dépendantes : au moins l’une est une combinaison des autres. Selon les seconds membres, le système possède soit une infinité de solutions (les plans partagent une droite), soit aucune (les plans ne se rencontrent jamais en un point commun). La règle de Cramer ne s’applique que pour D ≠ 0 et s’arrête donc ici.

Comment vérifier la solution ?

Reportez les valeurs obtenues de x, y et z dans les trois équations d’origine. Chaque membre de gauche doit être égal à son membre de droite (d₁, d₂, d₃). Comme la solution est calculée à partir de rapports exacts de déterminants, un léger arrondi sur les décimales affichées est normal ; les valeurs sous-jacentes satisfont les équations avec une précision totale.