Calculateur de volume du tore

Dernière mise à jour : 2026-05-18

Définition

Un tore est la surface engendrée par la rotation d'un cercle autour d'un axe extérieur situé dans son plan. On retrouve cette forme partout : beignets, joints toriques, chambres à air de vélo, bouées. Deux rayons suffisent à le définir entièrement : le grand rayon R (distance du centre du tore au centre du tube) et le petit rayon r (rayon du tube lui-même).

Formules

Les deux formules découlent directement du théorème de Pappus : le volume (ou l'aire) d'un solide de révolution est égal à l'aire (ou le périmètre) de la section tournante multipliée par la distance parcourue par son centroïde.

Volume — la section circulaire $\pi r^2$ parcourt une distance $2\pi R$ :

$V = 2\pi^2 R r^2$

Aire latérale — le périmètre circulaire $2\pi r$ parcourt une distance $2\pi R$ :

$A = 4\pi^2 R r$

Types de tores

Condition	Type	Description
R > r	Tore annulaire	Trou central — la forme de beignet classique
R = r	Tore en corne	Le trou intérieur se réduit à un point
R < r	Tore fuseau	Surface auto-intersectante ; non réalisable physiquement

Exemple résolu

Problème : Un joint torique en caoutchouc a un grand rayon de 20 mm et un petit rayon de 3 mm. Calculez son volume et son aire.

R = 0,020 m, r = 0,003 m :

$V = 2\pi^2 \times 0{,}020 \times 0{,}003^2 \approx 3{,}55 \text{ cm}^3$

$A = 4\pi^2 \times 0{,}020 \times 0{,}003 \approx 23{,}69 \text{ cm}^2$

Questions fréquentes (FAQ)

Quelle est la formule du volume d'un tore ?

Le volume d'un tore est V = 2π²Rr², où R est le grand rayon (distance entre l'axe central du tore et le centre du tube) et r est le petit rayon (rayon du tube lui-même). Par exemple, un tore avec R = 10 cm et r = 3 cm a V = 2 × π² × 0,10 × 0,03² ≈ 1 777 cm³. La formule découle du théorème de Pappus : le volume est égal à l'aire de la section circulaire (πr²) multipliée par la distance parcourue par son centroïde (2πR).

Quelle est la différence entre le grand rayon et le petit rayon d'un tore ?

Le grand rayon R est mesuré depuis l'axe central du tore jusqu'au centre du tube — il détermine la largeur de l'anneau. Le petit rayon r est le rayon du tube lui-même — il détermine l'épaisseur de l'anneau. Pour un tore annulaire (le type le plus courant), R doit être supérieur à r. Quand R = r, le trou intérieur disparaît et on obtient un tore en corne ; quand R < r, la surface se coupe elle-même et on obtient un tore en fuseau.

Qu'est-ce qu'un tore annulaire ?

Un tore annulaire est la forme de beignet classique où R > r, de sorte que le tore possède un trou en son centre. C'est le type le plus courant en mathématiques et en ingénierie (joints toriques, bouées, chambres à air).

Quand R = r, le trou intérieur se réduit à un point, formant un tore en corne. Quand R < r, la surface se coupe elle-même au centre, formant un tore en fuseau. Ce calculateur détermine le volume et l'aire pour les trois cas, bien que seuls les tores annulaires soient physiquement réalisables sans auto-intersection.

Calculateur de volume du tore

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