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Généré le: 20 juillet 2026 à 21:34

Calculatrice de loi uniforme

Données

Minimum0
Maximum10
Borne inférieure de l’intervalle2
Borne supérieure de l’intervalle5

Visualisation

F(s)
s F(s)

Généré avec OneCalc · https://onecalc.app/fr/math/uniform-distribution

Mathématiques

Calculatrice de loi uniforme

Calculez la densité de probabilité, la moyenne, la variance et la probabilité d’intervalle P(c ≤ X ≤ d) d’une loi uniforme continue sur [a, b]. Saisissez les bornes et l’intervalle.

Données

Résultats

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Détails

F(s)
s F(s)
\begin{aligned} P(c \le X \le d) &= \dfrac{d - c}{b - a} \\ &= \dfrac{(5) - (2)}{10 - (0)} \\ &= ? \end{aligned}
\begin{aligned} F(c) = P(X \le c) &= \dfrac{c - a}{b - a} \\ &= \dfrac{(2) - (0)}{10 - (0)} \\ &= ? \end{aligned}
\begin{aligned} \mu &= \dfrac{a + b}{2} \\ &= \dfrac{(0) + (10)}{2} \\ &= ? \end{aligned}
\begin{aligned} \sigma^2 &= \dfrac{(b - a)^2}{12} \\ &= \dfrac{(10 - (0))^2}{12} \\ &= ? \end{aligned}
\begin{aligned} f(x) &= \dfrac{1}{b - a} \\ &= \dfrac{1}{10 - (0)} \\ &= ? \end{aligned}

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Calculatrice de loi uniforme

La loi uniforme continue est le modèle de probabilité continu le plus simple : toutes les valeurs d’un intervalle [a, b] sont également probables, et rien en dehors ne peut se produire. Elle décrit naturellement « une valeur quelque part entre ces limites, sans préférence » : une erreur d’arrondi, un instant d’arrivée aléatoire dans une fenêtre fixe ou un point aléatoire sur un segment. À partir des deux bornes et d’un intervalle [c, d], cette calculatrice renvoie la densité de probabilité, la moyenne, la variance, la probabilité cumulée P(X ≤ c) et la probabilité d’intervalle P(c ≤ X ≤ d).

La loi uniforme

La loi est entièrement décrite par deux paramètres :

  • a — le minimum, la plus petite valeur que X peut prendre
  • b — le maximum, la plus grande valeur que X peut prendre

Comme la probabilité est répartie uniformément, la densité de probabilité est constante sur [a, b] et nulle ailleurs :

f(x)={1b−aa≤x≤b0sinonf(x) = \begin{cases} \dfrac{1}{b - a} & a \le x \le b \\[6pt] 0 & \text{sinon} \end{cases}

La densité doit s’intégrer à 1 sur l’intervalle de largeur (b − a), ce qui impose une hauteur constante exactement égale à 1 / (b − a).

Fonction de répartition

La fonction de répartition (CDF) donne la probabilité que X soit inférieur ou égal à une valeur x. Pour la loi uniforme, c’est une droite qui monte de 0 en a à 1 en b :

F(x)=P(X≤x)=x−ab−a,a≤x≤bF(x) = P(X \le x) = \frac{x - a}{b - a}, \quad a \le x \le b

En dessous de a elle vaut 0, au-dessus de b elle vaut 1. C’est cette rampe linéaire que trace le graphique.

Probabilité d’intervalle

La probabilité que X tombe entre c et d est la fraction de la largeur totale que couvre l’intervalle [c, d] :

P(c≤X≤d)=F(d)−F(c)=d−cb−aP(c \le X \le d) = F(d) - F(c) = \frac{d - c}{b - a}

Lorsque c ou d se situe hors de [a, b], il est ramené à la borne avant la mesure, de sorte que la probabilité ne dépasse jamais 1.

Moyenne et variance

Comme la loi est symétrique, l’espérance se situe au milieu :

μ=a+b2\mu = \frac{a + b}{2}

La variance mesure la dispersion. Pour la loi uniforme continue :

σ2=(b−a)212\sigma^2 = \frac{(b - a)^2}{12}

L’écart-type vaut donc (b − a) / √12 ≈ 0,2887 × (b − a). Doubler la largeur de l’intervalle quadruple la variance.

GrandeurFormule
Densité f(x)1 / (b − a)
Moyenne μ(a + b) / 2
Variance σ²(b − a)² / 12
CDF F(x)(x − a) / (b − a)

Exemple résolu

Un bus arrive à un arrêt à un instant réparti uniformément entre a = 0 et b = 15 minutes après votre arrivée. Quelle est la probabilité d’attendre entre c = 2 et d = 5 minutes ?

D’abord la densité :

f(x)=115−0=115≈0,0667f(x) = \frac{1}{15 - 0} = \frac{1}{15} \approx 0{,}0667

La probabilité d’intervalle :

P(2≤X≤5)=5−215−0=315=0,2P(2 \le X \le 5) = \frac{5 - 2}{15 - 0} = \frac{3}{15} = 0{,}2

Il y a donc 20 % de chances que l’attente tombe dans cette fenêtre. L’attente espérée est :

μ=0+152=7,5 minutes\mu = \frac{0 + 15}{2} = 7{,}5 \text{ minutes}

avec la variance :

σ2=(15−0)212=22512=18,75\sigma^2 = \frac{(15 - 0)^2}{12} = \frac{225}{12} = 18{,}75

soit un écart-type d’environ 4,33 minutes.

La densité n’est pas une probabilité

La valeur f(x) = 1 / (b − a) est une densité, pas une probabilité, et peut dépasser 1 lorsque l’intervalle est étroit : pour a = 0, b = 0,5 la densité vaut 2. C’est normal : une densité ne devient une probabilité qu’après avoir été multipliée par une largeur. La probabilité d’une valeur exacte unique est nulle, donc P(c ≤ X ≤ d) est égale à P(c < X < d) ; les extrémités n’apportent rien.

Questions fréquentes (FAQ)

Qu’est-ce qu’une loi uniforme continue ?

Une loi uniforme continue attribue la même probabilité à toutes les valeurs d’un intervalle [a, b] et une probabilité nulle en dehors. Comme la densité est plate, deux sous-intervalles de même largeur sont également probables. Elle modélise les situations où un résultat a la même chance de tomber n’importe où entre des limites connues : l’erreur d’arrondi d’une mesure ou un instant d’arrivée aléatoire dans une fenêtre fixe.

Quelle est la différence entre densité et fonction de répartition ici ?

La densité de probabilité (PDF) est constante, f(x) = 1 / (b − a), et représente une densité, pas une probabilité. La fonction de répartition (CDF), F(x) = (x − a) / (b − a), est une droite qui croît de 0 en a à 1 en b et donne la probabilité que X soit inférieur ou égal à x. La probabilité d’intervalle P(c ≤ X ≤ d) vaut F(d) − F(c).

Comment calcule-t-on la moyenne et la variance d’une loi uniforme ?

La moyenne est le milieu de l’intervalle, μ = (a + b) / 2, car la loi est symétrique. La variance vaut σ² = (b − a)² / 12 ; l’écart-type est donc (b − a) / √12 ≈ 0,2887 × (b − a). Élargir l’intervalle augmente la variance de façon quadratique.

Quelle est la probabilité d’une valeur exacte unique ?

Pour toute loi continue, y compris la loi uniforme, la probabilité d’une valeur exacte unique est nulle. Seuls les intervalles portent une probabilité non nulle. C’est pourquoi P(c ≤ X ≤ d) utilise la largeur de l’intervalle : les extrémités c et d elles-mêmes n’apportent rien, donc P(c ≤ X ≤ d) est égale à P(c < X < d).

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