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Généré le: 20 juillet 2026 à 21:34

Calculateur de projection de vecteurs

Données

a — composante x3
a — composante y4
a — composante z0
b — composante x1
b — composante y0
b — composante z0

Généré avec OneCalc · https://onecalc.app/fr/math/vector-projection

Mathématiques

Calculateur de projection de vecteurs

Projetez le vecteur a sur le vecteur b : projection scalaire, composantes de la projection vectorielle et composante perpendiculaire (rejet). Fonctionne en 2D (laisser z = 0) et en 3D, avec un développement détaillé étape par étape.

Données

Vecteur a (projeté)

Vecteur b (direction)

Résultats

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Détails

Développement étape par étape

\begin{aligned} \operatorname{comp}_{\mathbf{b}}\mathbf{a} &= \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{|\mathbf{b}|} \\ &= \frac{?}{?} \\ &= ? \end{aligned}
\begin{aligned} p_x &= \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{\mathbf{b} \cdot \mathbf{b}}\, b_x \\ &= \frac{?}{{\text{?}}}(1) \\ &= ? \end{aligned}
\begin{aligned} p_y &= \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{\mathbf{b} \cdot \mathbf{b}}\, b_y \\ &= \frac{?}{{\text{?}}}(0) \\ &= ? \end{aligned}
\begin{aligned} p_z &= \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{\mathbf{b} \cdot \mathbf{b}}\, b_z \\ &= \frac{?}{{\text{?}}}(0) \\ &= ? \end{aligned}
\begin{aligned} r_x &= a_x - p_x \\ &= 3 - (?) \\ &= ? \end{aligned}
\begin{aligned} r_y &= a_y - p_y \\ &= 4 - (?) \\ &= ? \end{aligned}
\begin{aligned} r_z &= a_z - p_z \\ &= 0 - (?) \\ &= ? \end{aligned}

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Projection de vecteurs

Projeter un vecteur a sur un vecteur b répond à une question simple : quelle part de a pointe dans la direction de b ? La réponse se présente sous deux formes — un seul nombre (la projection scalaire) et un vecteur complet (la projection vectorielle). Avec le rejet, elles décomposent a en une partie le long de b et une partie perpendiculaire.

Projection scalaire

La projection scalaire de a sur b est la longueur signée de a mesurée le long de la direction de b :

comp⁡ba=a⋅b∣b∣\operatorname{comp}_{\mathbf{b}}\mathbf{a} = \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{|\mathbf{b}|}

Elle est positive lorsque a penche dans le même sens que b, nulle quand ils sont perpendiculaires, et négative lorsque a penche en sens opposé.

Projection vectorielle

La projection vectorielle est un vecteur dirigé selon b dont la longueur est égale à la valeur absolue de la projection scalaire :

proj⁡ba=a⋅bb⋅b b=a⋅b∣b∣2 b\operatorname{proj}_{\mathbf{b}}\mathbf{a} = \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{\mathbf{b} \cdot \mathbf{b}}\,\mathbf{b} = \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{|\mathbf{b}|^2}\,\mathbf{b}

Le coefficient a⋅bb⋅b\frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{\mathbf{b} \cdot \mathbf{b}} redimensionne b pour que le résultat tombe juste « sous » l’extrémité de a.

Le rejet

Le rejet est ce qu’il reste de a une fois la projection retirée :

rej⁡ba=a−proj⁡ba\operatorname{rej}_{\mathbf{b}}\mathbf{a} = \mathbf{a} - \operatorname{proj}_{\mathbf{b}}\mathbf{a}

Il est perpendiculaire à b, de sorte que la projection et le rejet sont orthogonaux et redonnent, par addition, le vecteur initial : a=proj⁡ba+rej⁡ba\mathbf{a} = \operatorname{proj}_{\mathbf{b}}\mathbf{a} + \operatorname{rej}_{\mathbf{b}}\mathbf{a}.

Exemple résolu

Soit a = (3, 4, 0) et b = (1, 0, 0).

D’abord les produits scalaires :

a⋅b=(3)(1)+(4)(0)+(0)(0)=3,b⋅b=12+02+02=1\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = (3)(1) + (4)(0) + (0)(0) = 3, \qquad \mathbf{b} \cdot \mathbf{b} = 1^2 + 0^2 + 0^2 = 1

La norme de b vaut ∣b∣=1=1|\mathbf{b}| = \sqrt{1} = 1, donc la projection scalaire est :

comp⁡ba=31=3\operatorname{comp}_{\mathbf{b}}\mathbf{a} = \frac{3}{1} = 3

La projection vectorielle utilise le coefficient 31=3\frac{3}{1} = 3 :

proj⁡ba=3 (1,0,0)=(3,0,0)\operatorname{proj}_{\mathbf{b}}\mathbf{a} = 3\,(1, 0, 0) = (3, 0, 0)

Et le rejet est le reste perpendiculaire :

rej⁡ba=(3,4,0)−(3,0,0)=(0,4,0)\operatorname{rej}_{\mathbf{b}}\mathbf{a} = (3, 4, 0) - (3, 0, 0) = (0, 4, 0)

Comme prévu, (3, 0, 0) et (0, 4, 0) sont perpendiculaires et leur somme redonne (3, 4, 0).

2D et 3D

Les mêmes formules valent en toute dimension. Pour un problème plan en 2D, laissez les composantes z à 0 et lisez les résultats en x et y ; la sortie z reste à 0.

L’analogie du travail

En physique, le travail d’une force constante est le produit scalaire de la force et du déplacement :

W=F⋅d=∣F∣ ∣d∣cos⁡θW = \mathbf{F} \cdot \mathbf{d} = |\mathbf{F}|\,|\mathbf{d}|\cos\theta

C’est la norme de la force multipliée par la projection scalaire du déplacement sur la force. Seule la composante de la force alignée avec le mouvement effectue un travail ; la composante perpendiculaire (le rejet) n’en effectue aucun. La même idée décompose le poids d’un objet sur une rampe en une composante qui le fait glisser le long de la pente et une autre qui le plaque contre la surface.

Applications

  • Orthogonalisation de Gram-Schmidt : soustraire la projection de chaque vecteur sur les précédents pour construire une base orthogonale.
  • Ajustement par moindres carrés : la meilleure approximation d’un point dans un sous-espace est sa projection sur ce sous-espace.
  • Infographie : projeter une direction de lumière ou de vue sur une surface détermine l’ombrage et la longueur des ombres.
  • Décomposition des forces : séparer une force en composantes le long et en travers d’une direction, comme sur un plan incliné.

Questions fréquentes (FAQ)

Quelle est la différence entre projection scalaire et projection vectorielle ?

La projection scalaire comp_b(a) = (a · b) / |b| est un seul nombre signé : la mesure de a le long de la direction de b. La projection vectorielle proj_b(a) = ((a · b) / (b · b)) b est un vecteur complet : il est dirigé selon b et sa longueur est égale à la valeur absolue de la projection scalaire. En bref, la projection scalaire répond à « combien », la projection vectorielle à « combien et dans quelle direction ».

Comment projeter un vecteur sur un autre ?

Calculez le produit scalaire a · b et le carré de la norme b · b = |b|². La projection scalaire vaut (a · b) / |b|. La projection vectorielle est le coefficient (a · b) / (b · b) multiplié par b. Pour a = (3, 4) et b = (1, 0) : a · b = 3, |b| = 1, donc la projection scalaire vaut 3 et la projection vectorielle (3, 0).

Qu’est-ce que le rejet vectoriel ?

Le rejet est la partie de a qui reste après avoir retiré sa projection sur b : a − proj_b(a). Il est perpendiculaire à b, de sorte que la projection et le rejet décomposent a en deux parties orthogonales dont la somme redonne a. Cette décomposition est à la base du procédé de Gram-Schmidt et de la décomposition d’une force en composantes le long et en travers d’une surface.

Où les projections sont-elles utilisées en physique ?

Le travail d’une force constante est W = F · d = |F| |d| cos θ, soit la norme de la force multipliée par la projection scalaire du déplacement le long de la force. Seule la composante de la force dans la direction du mouvement effectue un travail ; la composante perpendiculaire (le rejet) n’en effectue aucun. Les projections décomposent aussi le poids d’un objet sur un plan incliné en composantes le long et normale à la surface.

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