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Generato il: 20 luglio 2026 alle ore 21:34

Calcolatore dell'urto elastico

Dati di input

Massa 12 kg
Velocità iniziale 13 m/s
Massa 24 kg
Velocità iniziale 2-1 m/s

Generato con OneCalc · https://onecalc.app/it/physics/elastic-collision

Fisica

Calcolatore dell'urto elastico

Risolve un urto elastico unidimensionale tra due corpi. Inserisci le masse e le velocità iniziali per ottenere entrambe le velocità finali, con verifica della quantità di moto e dell'energia cinetica.

Dati di input

Risultati

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\begin{aligned} v_1 &= \dfrac{(m_1 - m_2)\,u_1 + 2 m_2 u_2}{m_1 + m_2} \\ &= \dfrac{\left(2\,\text{kg} - 4\,\text{kg}\right)\left(3\,\text{m/s}\right) + 2\left(4\,\text{kg}\right)\left(-1\,\text{m/s}\right)}{2\,\text{kg} + 4\,\text{kg}} \\ &= ?\,\text{m/s} \end{aligned}
\begin{aligned} v_2 &= \dfrac{(m_2 - m_1)\,u_2 + 2 m_1 u_1}{m_1 + m_2} \\ &= \dfrac{\left(4\,\text{kg} - 2\,\text{kg}\right)\left(-1\,\text{m/s}\right) + 2\left(2\,\text{kg}\right)\left(3\,\text{m/s}\right)}{2\,\text{kg} + 4\,\text{kg}} \\ &= ?\,\text{m/s} \end{aligned}

Dettagli

kg·m/s
kg·m/s

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Urti elastici in una dimensione

Un urto elastico è un urto in cui si conservano sia la quantità di moto sia l'energia cinetica. Nulla va perduto in calore, suono o deformazione, perciò i due corpi si separano portando esattamente l'energia cinetica che avevano. Le sfere rigide come le palle da biliardo, le molecole di un gas e le particelle subatomiche che si scontrano sono tutte quasi perfettamente elastiche. Questo calcolatore prende le due masse e le loro velocità iniziali lungo una stessa retta e restituisce entrambe le velocità finali, insieme alla quantità di moto e all'energia cinetica prima e dopo, così da verificare direttamente le leggi di conservazione.

Poiché tutto avviene lungo un asse, la velocità è rappresentata da un numero con segno: scegli un verso come positivo e un corpo che si muove in quello opposto riceve un valore negativo.

Le due leggi di conservazione

Due equazioni governano un urto elastico unidimensionale. Conservazione della quantità di moto:

m1u1+m2u2=m1v1+m2v2m_1 u_1 + m_2 u_2 = m_1 v_1 + m_2 v_2

e conservazione dell'energia cinetica:

12m1u12+12m2u22=12m1v12+12m2v22\tfrac{1}{2} m_1 u_1^2 + \tfrac{1}{2} m_2 u_2^2 = \tfrac{1}{2} m_1 v_1^2 + \tfrac{1}{2} m_2 v_2^2

Risolvendo la coppia per le velocità finali incognite v1v_1 e v2v_2 si ottiene la forma chiusa usata dal calcolatore:

v1=(m1−m2) u1+2m2u2m1+m2,v2=(m2−m1) u2+2m1u1m1+m2v_1 = \frac{(m_1 - m_2)\,u_1 + 2 m_2 u_2}{m_1 + m_2}, \qquad v_2 = \frac{(m_2 - m_1)\,u_2 + 2 m_1 u_1}{m_1 + m_2}

Dalla stessa algebra emerge un fatto utile: in un urto elastico la velocità relativa di avvicinamento è uguale alla velocità relativa di allontanamento, u1−u2=−(v1−v2)u_1 - u_2 = -(v_1 - v_2). I corpi si separano alla stessa rapidità con cui si sono avvicinati.

Casi particolari da conoscere

SituazioneRisultato
Masse uguali (m1=m2m_1 = m_2)I corpi si scambiano le velocità: v1=u2v_1 = u_2, v2=u1v_2 = u_1.
Corpo leggero contro una parete pesante (m2≫m1m_2 \gg m_1, u2=0u_2 = 0)Il corpo leggero rimbalza quasi alla stessa velocità: v1≈−u1v_1 \approx -u_1.
Corpo pesante contro uno leggero (m1≫m2m_1 \gg m_2, u2=0u_2 = 0)Il pesante rallenta appena; il leggero schizza via a circa 2u12u_1.

Il caso delle masse uguali è il principio dietro la culla di Newton e un tiro frontale pulito al biliardo: la palla battente si ferma e la palla colpita parte alla velocità iniziale della battente.

Esempio svolto

Un carrello da 2 kg che si muove verso destra a 3 m/s urta un carrello da 4 kg che si avvicina a 1 m/s (cioè u2=−1u_2 = -1 m/s). Prendendo la destra come positiva:

v1=(m1−m2) u1+2m2u2m1+m2=(2−4)(3)+2(4)(−1)2+4=−6−86≈−2,33 m/s\begin{aligned} v_1 &= \frac{(m_1 - m_2)\,u_1 + 2 m_2 u_2}{m_1 + m_2} \\ &= \frac{(2 - 4)(3) + 2(4)(-1)}{2 + 4} \\ &= \frac{-6 - 8}{6} \approx -2{,}33\ \text{m/s} \end{aligned} v2=(m2−m1) u2+2m1u1m1+m2=(4−2)(−1)+2(2)(3)2+4=−2+126≈1,67 m/s\begin{aligned} v_2 &= \frac{(m_2 - m_1)\,u_2 + 2 m_1 u_1}{m_1 + m_2} \\ &= \frac{(4 - 2)(-1) + 2(2)(3)}{2 + 4} \\ &= \frac{-2 + 12}{6} \approx 1{,}67\ \text{m/s} \end{aligned}

Il carrello più leggero rimbalza (v1v_1 negativa), mentre il più pesante inverte il verso e va verso destra. Verifica: la quantità di moto prima è 2(3)+4(−1)=22(3) + 4(-1) = 2 kg·m/s e dopo 2(−2,33)+4(1,67)=22(-2{,}33) + 4(1{,}67) = 2 kg·m/s; l'energia cinetica prima è 12(2)(32)+12(4)(12)=11\tfrac{1}{2}(2)(3^2) + \tfrac{1}{2}(4)(1^2) = 11 J e dopo 12(2)(2,332)+12(4)(1,672)=11\tfrac{1}{2}(2)(2{,}33^2) + \tfrac{1}{2}(4)(1{,}67^2) = 11 J. Entrambe si conservano, come richiede un urto elastico.

Un aliante da 4 lb che si muove a 10 ft/s urta un aliante da 8 lb che gli va incontro a 3 ft/s (u2=−3u_2 = -3 ft/s). Prendendo il verso del primo aliante come positivo:

v1=(m1−m2) u1+2m2u2m1+m2=(4−8)(10)+2(8)(−3)4+8=−40−4812≈−7,33 ft/s\begin{aligned} v_1 &= \frac{(m_1 - m_2)\,u_1 + 2 m_2 u_2}{m_1 + m_2} \\ &= \frac{(4 - 8)(10) + 2(8)(-3)}{4 + 8} \\ &= \frac{-40 - 48}{12} \approx -7{,}33\ \text{ft/s} \end{aligned} v2=(m2−m1) u2+2m1u1m1+m2=(8−4)(−3)+2(4)(10)4+8=−12+8012≈5,67 ft/s\begin{aligned} v_2 &= \frac{(m_2 - m_1)\,u_2 + 2 m_1 u_1}{m_1 + m_2} \\ &= \frac{(8 - 4)(-3) + 2(4)(10)}{4 + 8} \\ &= \frac{-12 + 80}{12} \approx 5{,}67\ \text{ft/s} \end{aligned}

L'aliante più leggero rimbalza, il più pesante procede nel verso iniziale del primo, e la velocità relativa di allontanamento (5,67−(−7,33)=135{,}67 - (-7{,}33) = 13 ft/s) è uguale a quella di avvicinamento (10−(−3)=1310 - (-3) = 13 ft/s), come deve essere.

Quando vale il modello

Gli urti reali sono raramente perfettamente elastici: quasi sempre un po' di energia cinetica sfugge sotto forma di calore o suono. Le equazioni elastiche sono lo strumento giusto quando questa perdita è trascurabile: cuscinetti a sfere in acciaio, alianti su rotaia a cuscino d'aria quasi privi di attrito con respingenti magnetici o a molla, e diffusione su scala atomica. Se i corpi restano attaccati o si deformano visibilmente, l'urto è anelastico e l'energia cinetica non si conserva, quindi queste formule non valgono più. I valori di quantità di moto prima e dopo qui mostrati restano uguali in ogni urto isolato; il fatto che la coppia di energie cinetiche resti uguale è la firma che distingue il caso elastico.

Domande frequenti (FAQ)

Che cos'è un urto elastico?

Un urto elastico è un urto in cui si conservano sia la quantità di moto totale sia l'energia cinetica totale. Nessuna energia va persa in calore, suono o deformazione permanente, quindi i corpi si separano portando con sé la stessa energia cinetica di prima.

Gli urti tra sfere rigide come le palle da biliardo, e tra atomi o particelle subatomiche, sono quasi perfettamente elastici. La maggior parte degli urti quotidiani è in parte anelastica, ma il caso elastico è il modello limite ideale.

Quali sono le formule delle velocità finali in un urto elastico 1D?

Per corpi di massa m₁ e m₂ con velocità iniziali u₁ e u₂, le velocità finali sono v₁ = ((m₁ − m₂)u₁ + 2m₂u₂)/(m₁ + m₂) e v₂ = ((m₂ − m₁)u₂ + 2m₁u₁)/(m₁ + m₂). Derivano dalla risoluzione dell'equazione della quantità di moto m₁u₁ + m₂u₂ = m₁v₁ + m₂v₂ insieme a quella dell'energia cinetica ½m₁u₁² + ½m₂u₂² = ½m₁v₁² + ½m₂v₂². Le velocità hanno segno, quindi mantieni un verso positivo coerente.

Cosa succede quando due masse uguali si urtano elasticamente?

Quando m₁ = m₂, le formule si semplificano in v₁ = u₂ e v₂ = u₁: i corpi si scambiano le velocità. Una palla in movimento che colpisce una palla identica ferma si arresta del tutto, mentre la seconda parte alla velocità iniziale della prima — un risultato familiare dalla culla di Newton e da un tiro frontale al biliardo.

In cosa differisce un urto elastico da uno anelastico?

Entrambi conservano la quantità di moto, ma solo l'urto elastico conserva anche l'energia cinetica. In un urto anelastico parte dell'energia cinetica si trasforma in calore o deformazione, e in un urto perfettamente anelastico i corpi restano uniti e si muovono come uno solo. Questo calcolatore assume un urto perfettamente elastico, perciò i valori di energia cinetica prima e dopo che mostra dovrebbero sempre coincidere.

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