Ultimo aggiornamento: 2026-07-13

La terza legge di Keplero

La terza legge di Keplero lega le tre grandezze che descrivono un'orbita: la distanza dal corpo attorno a cui si gira, la massa di quel corpo centrale e il tempo di un giro. Nella forma di Newton si scrive $T^2 = 4\pi^2 a^3/(GM)$: il quadrato del periodo cresce con il cubo della distanza. Questa calcolatrice riorganizza quest'unica relazione in tre modi, così puoi trovare il periodo da una distanza e una massa, ricavare la distanza orbitale da un periodo noto, o persino pesare il corpo centrale a partire da un'orbita misurata.

La formula e le sue tre forme

Qui $a$ è il semiasse maggiore (la distanza orbitale media, e semplicemente il raggio per un'orbita circolare), $M$ è la massa del corpo orbitato e $G = 6.674\times10^{-11}\ \text{N·m}^2/\text{kg}^2$ è la costante di gravitazione. La massa del corpo che orbita non compare mai: un granello di polvere e una luna alla stessa distanza dalla stessa stella impiegano esattamente lo stesso tempo per un giro.

La scorciatoia del sistema solare

La terza legge di Keplero è così comoda per i pianeti grazie a una scelta felice delle unità. Misura la distanza in unità astronomiche (1 UA è la distanza Terra-Sole), la massa in masse solari (1 M☉ è la massa del Sole) e il tempo in anni, e il blocco $4\pi^2/(GM)$ diventa $1/M$. La legge diventa:

con $T$ in anni, $a$ in UA e $M$ in masse solari. È la forma che la calcolatrice usa internamente, ed è per questo che i suoi valori predefiniti — l'orbita della Terra — danno un risultato pulito.

Esempio svolto: la Terra attorno al Sole

Per la Terra, il semiasse maggiore è $a = 1\ \text{UA}$ e la massa centrale $M = 1\ \text{M}_\odot$:

Gli stessi numeri in unità SI complete — $a = 1.496\times10^{11}\ \text{m}$, $M = 1.989\times10^{30}\ \text{kg}$ — inseriti in $T = 2\pi\sqrt{a^3/GM}$ danno circa $3.156\times10^{7}\ \text{s}$, cioè un anno a meno di una minuscola frazione di punto percentuale. La forma in UA nasconde solo il conto.

Esempio svolto: i pianeti esterni

Lo scaling a³ è il motivo per cui il sistema solare esterno si muove così lentamente. Giove sta a circa $a = 5.20\ \text{UA}$, quindi

in accordo con gli 11,86 anni reali di Giove. Nettuno, a circa 30 UA, ha bisogno di $\sqrt{30^3} \approx 164$ anni per un solo giro attorno al Sole: un anno nettuniano è più lungo del tempo da cui il pianeta è noto alla scienza.

Pesare una stella

Al contrario, la terza legge di Keplero è uno degli strumenti più importanti dell'astronomia: misura una massa che non potrai mai mettere su una bilancia. Se osservi un compagno in orbita — un pianeta attorno a una stella, una stella attorno a un buco nero — e ne misuri periodo e semiasse maggiore, allora $M = 4\pi^2 a^3/(GT^2)$ dà la massa di ciò attorno a cui gira. Così sono state determinate la massa del Sole, quella delle stelle ospiti di esopianeti e quella del buco nero supermassiccio al centro della Via Lattea.

Ipotesi e limiti

La legge così com'è usata qui presuppone un corpo molto più massiccio dell'altro, così che il corpo centrale resta praticamente fermo mentre il più piccolo lo orbita. Per due masse confrontabili — una stella binaria, ad esempio — la $M$ della formula è la somma delle due masse, ed entrambi i corpi orbitano il loro centro di massa comune. Il risultato è inoltre il valore ideale a due corpi: ignora l'attrazione di altri pianeti, il lieve schiacciamento dei corpi reali e gli effetti relativistici, che tutti producono piccole, lente derive delle orbite reali su lunghi intervalli di tempo.