Calcolatore di moto del proiettile

Ultimo aggiornamento: 2026-04-21

Definizione

Il moto del proiettile è la traiettoria descritta da un corpo lanciato in aria e soggetto, dopo il lancio, alla sola forza di gravità, trascurando la resistenza dell'aria e ogni altra forza. Galileo Galilei ne stabilì la base matematica nel 1638 nei Discorsi e dimostrazioni matematiche intorno a due nuove scienze: in assenza di resistenza dell'aria la traiettoria è esattamente una parabola, indipendentemente dalla massa del proiettile.

Questo calcolatore riceve velocità iniziale, angolo di lancio, accelerazione di gravità e altezza di partenza, e restituisce gittata, altezza massima e tempo di volo, oltre alla posizione e alla velocità del proiettile in qualsiasi istante selezionato. Il modello è adatto alla didattica introduttiva della meccanica, all'analisi sportiva di primo ordine e alla stima delle traiettorie nello sviluppo di videogiochi.

Una visualizzazione interattiva della traiettoria è disponibile nella Simulazione del moto del proiettile.

Decomposizione orizzontale e verticale

Componenti indipendenti

L'intuizione centrale di Galileo è l'indipendenza del moto orizzontale da quello verticale; le due componenti condividono soltanto la variabile temporale.

Orizzontalmente, nel modello in vuoto non agisce alcuna forza e il moto è uniforme:

$x(t) = v_0 \cos\theta \cdot t$

Verticalmente, la gravità rallenta la fase ascendente e successivamente accelera la discesa:

$y(t) = h_0 + v_0 \sin\theta \cdot t - \frac{1}{2} g t^2$

dove $v_0$ è la velocità iniziale, $\theta$ l'angolo di lancio rispetto all'orizzontale, $g$ l'accelerazione di gravità e $h_0$ l'altezza di partenza sul piano di atterraggio.

L'angolo ottimale a 45°

Quando il lancio e l'atterraggio avvengono alla stessa altezza ($h_0 = 0$), la gittata massima si ottiene esattamente a 45°:

$R = \frac{v_0^2 \sin(2\theta)}{g}$

Il fattore $\sin(2\theta)$ raggiunge il proprio massimo per $\theta = 45°$. Come corollario diretto, gli angoli simmetrici rispetto a 45° producono la stessa gittata: 30° e 60° atterrano nel medesimo punto, come anche 20° e 70°. Questa simmetria è una proprietà intrinseca della funzione seno.

Quando l'altezza di lancio è superiore al piano di atterraggio (un cannone su una collina, un tiro al canestro all'altezza delle spalle), l'angolo ottimale scende sotto i 45°; tanto più elevata è l'altezza iniziale, tanto più basso risulta il lancio ottimale.

Traiettoria con accelerazione di gravità diversa

Il calcolatore include preset di gravità per la Luna (1,62 m/s²) e per Marte (3,71 m/s²). A parità di condizioni iniziali, un proiettile sulla Luna percorre una distanza pari a circa sei volte quella ottenuta sulla Terra. L'astronauta dell'Apollo 14 Alan Shepard colpì due palline da golf sulla superficie lunare nel 1971; la gittata effettiva fu dell'ordine di alcune decine di metrialcune decine di yard, in quanto la tuta spaziale limitava l'ampiezza dello swing.

Esempio numerico

Si consideri un proiettile lanciato con velocità iniziale $v_0 = 20\ \text{m/s}$, angolo $\theta = 45°$ e altezza di partenza $h_0 = 0$ (lancio e atterraggio allo stesso livello), con $g = 9{,}81\ \text{m/s}^2$.

Le componenti iniziali della velocità sono:

$v_x = 20 \cdot \cos 45° \approx 14{,}14\ \text{m/s}$

$v_y(0) = 20 \cdot \sin 45° \approx 14{,}14\ \text{m/s}$

Il tempo di volo si ricava ponendo $y(t) = 0\ \text{m}$:

$t_\text{volo} = \frac{v_y(0) + \sqrt{v_y(0)^2 + 2g h_0}}{g} = \frac{14{,}14 + 14{,}14}{9{,}81} \approx 2{,}88\ \text{s}$

L'altezza massima, raggiunta a $t_\text{apice} = v_y(0)/g \approx 1{,}44\ \text{s}$, vale:

$h_\text{max} = \frac{v_y(0)^2}{2g} = \frac{(14{,}14)^2}{2 \cdot 9{,}81} \approx 10{,}19\ \text{m}$

La gittata è:

$R = v_x \cdot t_\text{volo} = 14{,}14 \cdot 2{,}88 \approx 40{,}7\ \text{m}$

La velocità all'impatto coincide con quella di lancio poiché $h_0 = 0$: $v_f = \sqrt{v_0^2 + 2g h_0} = 20\ \text{m/s}$.

Applicazioni

Angolo di rilascio nel getto del peso

I pesisti di vertice rilasciano l'attrezzo a un angolo compreso fra 35° e 38°, decisamente inferiore ai 45° riportati nei manuali. Il peso lascia la mano a circa 2 m dal suoloa circa 6,5 ft dal suolo, non a livello del terreno. Con questo vantaggio iniziale l'angolo ottimale diminuisce, poiché il proiettile dispone già di tempo di volo aggiuntivo e diventa più conveniente trasferire una quota maggiore di energia alla componente orizzontale della velocità.

Didattica della meccanica

Nello studio introduttivo della meccanica, la variazione di un singolo parametro con risposta immediata della traiettoria rende osservabili fenomeni che restano astratti nella sola derivazione simbolica. Dimostrazioni adeguate sono la verifica dell'uguaglianza delle gittate a 30° e 60°, l'osservazione della crescita dell'altezza massima con l'angolo e della contemporanea contrazione della gittata oltre i 45°, e il confronto affiancato delle traiettorie sotto gravità terrestre, lunare e marziana.

Progettazione di traiettorie nei videogiochi

Nella prototipazione della meccanica di un proiettile in un videogioco — arco e frecce, artiglieria, basket — il modello in vuoto fornisce verifiche rapide di plausibilità per la taratura. Domande come «quale velocità iniziale serve per raggiungere 100 m?»«quale velocità iniziale serve per raggiungere 110 yard?» trovano risposta prima di intervenire sul motore fisico. Le implementazioni produttive aggiungono successivamente resistenza dell'aria, vento ed effetto Magnus, ma la soluzione analitica resta un utile riferimento.

Stima di lanci reali

Un lancio profondo di un quarterback percorre circa 50–60 m con velocità di rilascio di 25–28 m/scirca 55–65 yard con velocità di rilascio di 55–60 mph e angoli di lancio prossimi a 30–35°. Sostituendo questi valori nella formula si ottengono cifre approssimate ma plausibili, utili per inquadrare le distanze realmente registrate nella NFL e per misurare il contributo sottratto dalla resistenza dell'aria.

Limiti del modello in vuoto

Il calcolatore risolve il modello in vuoto. I proiettili reali subiscono una forza di resistenza che li rallenta e devia la traiettoria dalla parabola ideale. L'effetto cresce con la velocità e con la sezione esposta e diminuisce con la massa. Una palla da baseball lanciata a 40 m/s (144 km/h)a 90 mph (40 m/s) percorre in realtà dal 20 al 40% in meno rispetto alla previsione in vuoto. Anche i proiettili d'arma da fuoco, le frecce e le palline da golf si discostano dall'ideale parabolico in misura significativa.

L'analisi sportiva di livello agonistico, la balistica e le applicazioni aerospaziali richiedono un modello che includa la resistenza dell'aria e, per i proiettili in rotazione, la forza di Magnus. Il modello in vuoto resta il punto di partenza adeguato alla comprensione della geometria del problema e costituisce uno strumento didattico valido, ma non sostituisce un'analisi quantitativa nelle applicazioni che esigono precisione.