이항 확률 계산기

최종 업데이트: 2026-05-18

이항분포란?

이항분포는 독립적인 시행을 고정된 횟수만큼 반복할 때 성공 횟수를 모형화합니다. 각 시행의 성공 확률은 동일합니다. 동전을 10번 던져 앞면이 나오는 횟수를 세거나, 제품 100개를 검사해 불량품 수를 파악하거나, 유권자 50명을 대상으로 여론조사를 실시하는 경우 — 각 시행의 결과가 두 가지뿐이고 시행이 서로 독립이면 모두 이항 모형을 따릅니다.

공식

$n$번의 시행, $k$번의 성공, 시행당 성공 확률 $p$에 대해:

조합 수($n$번의 시행에서 $k$번의 성공을 선택하는 경우의 수):

$$C(n,k) = \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$$

정확 확률:

$$P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$$

누적 확률(성공이 최대 $k$번):

$$P(X \leq k) = \sum_{i=0}^{k} \binom{n}{i} p^i (1-p)^{n-i}$$

성공이 최소 $k$번:

$$P(X \geq k) = 1 - P(X \leq k-1)$$

평균과 표준편차:

$$\mu = np \qquad \sigma = \sqrt{np(1-p)}$$

계산 예시: 동전 던지기

공정한 동전($p = 0.5$)을 10번 던질 때, 정확히 3번 앞면이 나올 확률은 얼마입니까?

$$P(X = 3) = \binom{10}{3} \times 0.5^3 \times 0.5^7 = 120 \times \frac{1}{1024} \approx 0.117$$

약 11.7%입니다. 3번 이하 앞면이 나올 누적 확률:

$$P(X \leq 3) = P(0) + P(1) + P(2) + P(3) = \frac{1 + 10 + 45 + 120}{1024} = \frac{176}{1024} \approx 17.2\%$$

그리고 3번 이상 앞면이 나올 확률: $P(X \geq 3) = 1 - P(X \leq 2) = 1 - 56/1024 \approx 94.5\%$.

실생활 응용

품질 관리: 공장에서 불량률 2%로 볼트를 생산합니다. 50개를 검사할 때 불량품이 2개를 초과할 확률은 얼마입니까? $n = 50$, $p = 0.02$를 사용하여 $P(X > 2) = 1 - P(X \leq 2)$를 계산합니다.

임상 시험: 약물의 성공률이 70%입니다. 20명의 환자를 대상으로 한 임상시험에서 최소 15명이 반응을 보일 확률은 얼마입니까? $n = 20$, $p = 0.7$을 사용하여 $P(X \geq 15)$를 계산합니다.

여론조사: 어느 지역에서 정책 지지율이 40%일 때, 무작위로 선택한 유권자 12명 중 정확히 5명이 지지할 확률은 얼마입니까?

정규근사

$n$이 클 때 이항분포는 종 모양의 곡선에 가까워집니다. 다음 조건을 만족하면 $X \approx N(\mu, \sigma^2)$으로 근사할 수 있습니다:

$$np \geq 5 \quad \text{그리고} \quad n(1-p) \geq 5$$

연속성 수정을 적용합니다: $P(X = k) \approx P(k - 0.5 < Z < k + 0.5)$ (단, $Z$는 표준정규분포).

$n = 10$, $p = 0.5$이면 $np = 5$로 경계선상에 있어 근사가 거칩니다. $n = 100$ 이상이면 근사 정밀도가 매우 높아집니다.

자주 묻는 질문 (FAQ)

이항 확률 공식은 무엇입니까?

P(X = k) = C(n,k) × p^k × (1−p)^(n−k)로 계산합니다. C(n,k) = n! / (k!(n−k)!)는 n번의 시행 중 k번의 성공을 선택하는 조합의 수입니다. 예를 들어 공정한 동전을 10번 던져 정확히 3번 앞면이 나올 확률은 P = C(10,3) × 0.5³ × 0.5⁷ = 120 × (1/1024) ≈ 0.1172(약 11.7%)입니다.

누적 이항 확률은 어떻게 계산합니까?

P(X ≤ k)는 P(X=0) + P(X=1) + … + P(X=k)의 합입니다. 동전을 10번 던져 앞면이 3번 이하로 나올 확률은 P(X ≤ 3) = P(0) + P(1) + P(2) + P(3) ≈ 0.172입니다. k번 이상의 확률은 P(X ≥ k) = 1 − P(X ≤ k−1)로 구할 수 있습니다.

이항 분포의 평균과 표준편차는 얼마입니까?

평균은 μ = n × p이고, 표준편차는 σ = √(np(1−p))입니다. 시행 횟수 10회, 성공 확률 0.5인 경우 μ = 5, σ = √2.5 ≈ 1.58이 됩니다. 평균은 기대되는 성공 횟수를, 표준편차는 실제 결과가 평균에서 얼마나 벗어날 수 있는지를 나타냅니다.

이항 분포를 정규 분포로 근사할 수 있는 조건은 무엇입니까?

np ≥ 5이고 n(1−p) ≥ 5를 모두 만족할 때 정규 분포 N(μ, σ²)로 근사할 수 있습니다(μ = np, σ² = np(1−p)). 연속성 보정을 적용하면 P(X = k) ≈ P(k−0.5 < Z < k+0.5)로 계산합니다. n = 10, p = 0.5이면 np = 5로 경계에 해당하며, n ≥ 30일 때 근사의 신뢰도가 크게 높아집니다.