벡터 외적 계산기 (3차원)

최종 업데이트: 2026-05-26

외적이란 무엇인가?

두 3차원 벡터 a와 b의 외적(外積, cross product) c = a × b는 두 벡터 모두에 수직인 새로운 벡터입니다. 그 크기는 |a||b|sin θ이며, θ는 두 벡터 사이의 각도입니다.

공식

외적은 3×3 행렬식으로 정의됩니다.

$$\mathbf{a} \times \mathbf{b} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \end{vmatrix} = (a_2 b_3 - a_3 b_2)\,\mathbf{i} - (a_1 b_3 - a_3 b_1)\,\mathbf{j} + (a_1 b_2 - a_2 b_1)\,\mathbf{k}$$

여인수(cofactor)를 전개하면 세 개의 스칼라 성분을 얻습니다.

$$c_1 = a_2 b_3 - a_3 b_2, \quad c_2 = a_3 b_1 - a_1 b_3, \quad c_3 = a_1 b_2 - a_2 b_1$$

결과 벡터의 크기(두 벡터가 이루는 평행사변형의 넓이)는 다음과 같습니다.

$$|\mathbf{a} \times \mathbf{b}| = \sqrt{c_1^2 + c_2^2 + c_3^2}$$

오른손 법칙

a × b의 방향은 오른손 법칙으로 결정됩니다. 오른손의 손가락을 a 방향으로 펴고, 작은 각도 방향으로 b를 향해 감아쥐면 엄지손가락이 a × b의 방향을 가리킵니다.

외적은 **반교환적(anti-commutative)**입니다. 즉, **b × a = −(a × b)**이므로, 순서를 바꾸면 결과 벡터의 방향이 반대가 됩니다. 이는 내적(dot product)과 구별되는 중요한 성질입니다.

풀이 예시

a = (1, 2, 3), b = (4, 5, 6)의 경우를 계산하면 다음과 같습니다.

$$c_1 = (2)(6) - (3)(5) = 12 - 15 = -3$$ $$c_2 = (3)(4) - (1)(6) = 12 - 6 = 6$$ $$c_3 = (1)(5) - (2)(4) = 5 - 8 = -3$$

따라서 a × b = (−3, 6, −3)이고, 크기는 다음과 같습니다.

$$\sqrt{(-3)^2 + 6^2 + (-3)^2} = \sqrt{9 + 36 + 9} = \sqrt{54} = 3\sqrt{6} \approx 7.348$$

이 값은 a와 b를 인접한 변으로 하는 평행사변형의 넓이이기도 합니다.

기하학적 해석

|a × b|는 a와 b를 인접한 두 변으로 하는 평행사변형의 넓이입니다. 이 값의 절반은 두 벡터가 이루는 삼각형의 넓이가 됩니다. 3차원 컴퓨터 그래픽스에서 다각형 메시(mesh)의 표면 넓이를 꼭짓점 좌표로부터 계산할 때 이 관계가 활용됩니다.

두 벡터가 평행하면 sin θ = 0이므로 a × b = 0입니다. 이는 두 벡터의 공선(collinearity) 여부를 판별하는 데 이용됩니다. 즉, 두 벡터의 외적이 영벡터이면 두 벡터는 평행입니다.

3차원(및 7차원) 한정 정의

행렬식 방법으로 두 벡터에 수직인 단 하나의 벡터를 구하려면 정확히 3차원이 필요합니다. 2차원에서는 세 번째 축이 존재하지 않고, 4차원 이상에서는 두 벡터에 수직인 방향이 유일하지 않아 결과가 하나로 결정되지 않습니다. 옥토니언(octonion) 대수를 이용하면 7차원에서도 유사한 외적을 정의할 수 있지만, 물리학·공학·그래픽스에서 실용적으로 사용되는 것은 3차원 외적입니다.

응용

외적은 수직 방향이나 넓이가 필요한 여러 분야에서 등장합니다.

• 돌림힘(토크): τ = r × F (r은 모멘트 팔, F는 힘)
• 각운동량: L = r × p
• 법선 벡터: 3차원 렌더링에서 삼각형 폴리곤의 법선은 두 변 벡터의 외적으로 구합니다.
• 로렌츠 힘: F = q(v × B) — 운동하는 전하에 작용하는 자기력
• 삼각형 넓이: 두 변 벡터 외적의 크기의 절반

자주 묻는 질문 (FAQ)

외적(벡터곱)의 기하학적 의미는 무엇인가요?

외적 a × b는 a와 b 모두에 수직인 벡터를 만들어냅니다. 그 방향은 오른손 법칙으로 결정되며, 크기는 |a||b|sin θ입니다(θ는 두 벡터가 이루는 각도). 기하학적으로 이 크기는 두 벡터를 인접한 변으로 하는 평행사변형의 넓이와 같습니다. a × b = 0이면 두 벡터가 평행하거나 영벡터입니다.

오른손 법칙이란 무엇인가요?

오른손의 손가락을 벡터 a 방향으로 펴고, 작은 각도 쪽으로 b를 향해 감아쥘 때 엄지손가락이 가리키는 방향이 a × b의 방향입니다. 외적은 반교환적(anti-commutative)이므로 b × a = −(a × b)입니다. 순서를 바꾸면 결과 벡터의 방향이 반대가 됩니다.

외적이 3차원에서만 정의되는 이유는 무엇인가요?

행렬식 공식을 사용해 두 벡터에 수직인 단 하나의 벡터를 구하려면 정확히 3차원이 필요합니다. 2차원에서는 세 번째 축이 없고, 4차원 이상에서는 두 벡터에 수직인 방향이 유일하지 않습니다. 옥토니언 대수를 이용한 7차원 외적도 존재하지만, 물리학, 공학, 컴퓨터 그래픽스에서 실제로 사용되는 것은 3차원 외적입니다.

외적이 0이 되는 경우는 언제인가요?

두 벡터가 평행(반평행 포함)하거나 한 벡터가 영벡터일 때 a × b = 0입니다. 이 경우 sin θ = 0이므로 크기 |a||b|sin θ = 0입니다. 두 벡터가 평행하면 평행사변형의 넓이가 0이 되어 평행사변형이 직선으로 퇴화합니다.