정육면체 계산기 — 부피·겉넓이·대각선

최종 업데이트: 2026-05-19

정육면체의 정의

정육면체(正六面體)는 여섯 개의 합동인 정사각형 면으로 이루어진 정다면체로, 모든 모서리의 길이가 동일합니다. 한 변의 길이 s를 알면 부피·겉넓이·면대각선·공간대각선·모서리 총 길이가 모두 결정됩니다.

공식 정리

한 변의 길이를 s라 할 때:

항목	공식	의미
부피	V = s³	내부 공간의 크기
겉넓이	A = 6s²	6개 면의 총 넓이
면대각선	$d_f = s\sqrt{2}$	정사각형 면의 대각선
공간대각선	$d_s = s\sqrt{3}$	반대편 꼭짓점을 잇는 내부 대각선
모서리 총 길이	L = 12s	12개 모서리의 합

겉넓이가 6s²인 이유

정육면체에는 한 변이 s인 정사각형 면이 6개 있으며, 각 면의 넓이는 s²입니다. 6개를 모두 합하면 A = 6s²가 됩니다. s = 10 cm일 때: A = 6 × 100 = 600 cm².

면대각선 유도

각 면은 한 변이 s인 정사각형이고, 피타고라스 정리를 적용하면:

$d_f = \sqrt{s^2 + s^2} = \sqrt{2s^2} = s\sqrt{2}$

s = 10 cm일 때: $d_f = 10\sqrt{2} \approx 14.14$ cm.

공간대각선 유도

공간대각선은 정육면체의 내부를 가로질러 반대편 꼭짓점을 잇는 선입니다. 3차원 피타고라스 정리를 적용합니다. 먼저 면대각선 d_f를 구한 뒤, 이를 밑변으로 하고 s를 높이로 하여 대각선을 구합니다:

$d_s = \sqrt{d_f^2 + s^2} = \sqrt{2s^2 + s^2} = \sqrt{3s^2} = s\sqrt{3}$

s = 10 cm일 때: $d_s = 10\sqrt{3} \approx 17.32$ cm. 공간대각선은 항상 면대각선보다 깁니다($\sqrt{3} > \sqrt{2}$).

직육면체와의 관계

정육면체는 l = w = h = s인 직육면체입니다. 직육면체 공식에 l = w = h = s를 대입하면:

• V = l·w·h → s·s·s = s³
• A = 2(lw + lh + wh) → 2(s² + s² + s²) = 6s²
• 공간대각선 = $\sqrt{l^2 + w^2 + h^2} \to \sqrt{3s^2} = s\sqrt{3}$

부피의 세제곱 비례

부피는 s³에 비례하므로 변의 길이가 조금만 커져도 부피는 급격히 늘어납니다:

변의 배수	부피의 배수	겉넓이의 배수
2배	8배	4배
3배	27배	9배
1/2배	1/8배	1/4배

20 cm짜리 상자는 10 cm짜리 상자보다 겉보기엔 2배 크지만 내부 용량은 8배입니다.

계산 예시

예시 1 — 얼음 조각

일반적인 정육면체 얼음의 한 변은 약 s ≈ 2.5 cm(0.025 m)입니다.

부피: V = 0.025³ ≈ 15.6 cm³ ≈ 15.6 mL
겉넓이: A = 6 × 0.025² = 37.5 cm²
공간대각선: $d_s = 0.025 \times \sqrt{3} \approx 4.33$ cm

예시 2 — 포장 박스

한 변이 30 cm인 정육면체 택배 박스:

부피: V = 30³ = 27,000 cm³ = 27 L
겉넓이: A = 6 × 900 = 5,400 cm² (골판지 사용량)
모서리 총 길이: L = 12 × 30 = 360 cm (테이프 필요량)

예시 3 — 부피로 변의 길이 구하기

부피가 1,000 cm³이라면 한 변의 길이는:

s = ∛V = ∛1000 = 10 cm

부피가 8 m³이면: s = ∛8 = 2 m.

자주 묻는 질문 (FAQ)

정육면체의 공간대각선 길이는 어떻게 구하나요?

한 변의 길이가 s인 정육면체의 공간대각선은 d = s√3입니다. 한 꼭짓점에서 정반대편 꼭짓점까지 내부를 가로지르는 선이며, s = 10 cm일 때 d = 10√3 ≈ 17.32 cm입니다.

면대각선과 공간대각선의 차이가 무엇인가요?

면대각선은 정사각형 면 위의 대각선으로 길이가 s√2이고, 공간대각선은 정육면체 내부를 가로질러 반대편 꼭짓점을 잇는 선으로 길이가 s√3입니다. s = 10 cm일 때 면대각선 ≈ 14.14 cm, 공간대각선 ≈ 17.32 cm입니다.

정육면체의 부피로 한 변의 길이를 구하려면?

V = s³에서 s = ∛V로 구합니다. 예를 들어 V = 1,000 cm³이면 s = ∛1000 = 10 cm이고, V = 8 m³이면 s = 2 m입니다.

정육면체의 겉넓이가 6s²인 이유는 무엇인가요?

정육면체에는 넓이가 s²인 정사각형 면이 6개 있습니다. 이를 모두 합하면 A = 6s²가 됩니다. s = 5 cm이면 A = 6 × 25 = 150 cm²입니다.