삼차방정식 풀이기

최종 업데이트: 2026-05-26

삼차방정식이란?

삼차방정식은 최고차항이 3인 다항방정식입니다.

$$ax^3 + bx^2 + cx + d = 0 \quad (a \neq 0)$$

실수 계수를 갖는 삼차방정식은 반드시 실근을 하나 이상 가집니다. 연속함수가 $-\infty$에서 $+\infty$로 증가할 때 사이값 정리에 의해 $x$축을 적어도 한 번 지나기 때문입니다. 근의 구성은 판별식에 따라 실근 세 개이거나 실근 한 개와 켤레복소근 두 개 중 하나입니다.

소거형 삼차식으로의 변환

삼차방정식 풀이의 첫 단계는 $x^2$ 항을 소거하는 것입니다. $x = t - \tfrac{b}{3a}$로 치환하면 방정식이 **소거형 삼차식(depressed cubic)**으로 바뀝니다.

$$t^3 + pt + q = 0$$

계수 $p$와 $q$는 원래 방정식의 네 계수로부터 다음과 같이 결정됩니다.

$$p = \frac{3ac - b^2}{3a^2}, \qquad q = \frac{2b^3 - 9abc + 27a^2d}{27a^3}$$

소거형 삼차식의 근 $t_1, t_2, t_3$를 구한 뒤 $x_k = t_k - \tfrac{b}{3a}$를 적용하면 원래 방정식의 근이 복원됩니다.

판별식

근의 종류를 결정하는 핵심 지표는 판별식 $\Delta$입니다.

$$\Delta = -4p^3 - 27q^2$$

• $\Delta > 0$: 서로 다른 실근 세 개 — 삼각함수법을 사용합니다.
• $\Delta = 0$: 중근이 있는 실근 세 개 — 삼각함수법이 중복값을 올바르게 처리합니다.
• $\Delta < 0$: 실근 한 개와 켤레복소근 두 개 — 카르다노 공식을 사용합니다.

카르다노 공식 ($\Delta < 0$)

$\Delta < 0$일 때 $C = \tfrac{q^2}{4} + \tfrac{p^3}{27} > 0$이 성립하므로 아래의 세제곱근은 실수입니다.

$$u = \sqrt[3]{-\frac{q}{2} + \sqrt{C}}, \qquad v = \sqrt[3]{-\frac{q}{2} - \sqrt{C}}$$

소거형 삼차식 $t^3 + pt + q = 0$의 세 근은 다음과 같습니다.

$$t_1 = u + v, \qquad t_{2,3} = -\frac{u+v}{2} \pm \frac{(u-v)\sqrt{3}}{2}\,i$$

원래 방정식의 실근은 $x_1 = t_1 - \tfrac{b}{3a}$이고, 켤레복소근 쌍은 $\alpha \pm \beta i$ 형태입니다. 여기서 $\alpha = -\tfrac{u+v}{2} - \tfrac{b}{3a}$, $\beta = \tfrac{(u-v)\sqrt{3}}{2}$입니다.

풀이 예시. $x^3 + x - 2 = 0$을 풀어봅니다.

$a=1$, $b=0$, $c=1$, $d=-2$이므로 소거형 삼차식의 계수는 $p=1$, $q=-2$이고, $\Delta = -112 < 0$입니다.

$$C = \frac{(-2)^2}{4} + \frac{1^3}{27} = 1 + \frac{1}{27} = \frac{28}{27}$$ $$u = \sqrt[3]{1 + \sqrt{\tfrac{28}{27}}} \approx 1.2638, \qquad v = \sqrt[3]{1 - \sqrt{\tfrac{28}{27}}} \approx -0.2638$$ $$x_1 = u + v = 1.000, \qquad x_{2,3} = -0.500 \pm \tfrac{\sqrt{7}}{2}\,i \approx -0.500 \pm 1.323\,i$$

검증: $(x-1)(x^2+x+2) = x^3+x-2$ ✓

삼각함수법 ($\Delta \geq 0$)

$\Delta \geq 0$이면 $C \leq 0$이 되어 $\sqrt{C}$가 허수가 됩니다. 이 경우 카르다노 공식을 그대로 적용하면 세 근이 모두 실수임에도 불구하고 중간 계산 과정에서 복소수를 거쳐야 하는 **카수스 이레두키빌리스(casus irreducibilis)**가 발생합니다. 삼각함수법은 이를 우회하여 실수 계산만으로 세 근을 모두 구합니다.

$r = \sqrt{-p/3}$ ($\Delta \geq 0$이면 $p \leq 0$이므로 실수)와 $\theta = \tfrac{1}{3}\arccos\!\left(\tfrac{-q}{2r^3}\right)$를 정의하면 세 근은 다음과 같습니다.

$$t_k = 2r\cos\!\left(\theta - \frac{2\pi k}{3}\right), \quad k = 0, 1, 2$$

각도 간격 $\tfrac{2\pi}{3}$은 1의 세제곱근 세 개에서 비롯됩니다.

풀이 예시. $x^3 - 6x^2 + 11x - 6 = 0$을 풀어봅니다.

$a=1$, $b=-6$, $c=11$, $d=-6$이고, 소거형 삼차식의 계수는 $p=-1$, $q=0$이며 $\Delta=4>0$입니다.

$$r = \sqrt{\frac{1}{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}, \qquad \theta = \frac{1}{3}\arccos(0) = \frac{\pi}{6}$$ $$t_0 = \frac{2}{\sqrt{3}}\cos\frac{\pi}{6} = 1, \quad t_1 = \frac{2}{\sqrt{3}}\cos\!\left(-\frac{\pi}{2}\right) = 0, \quad t_2 = \frac{2}{\sqrt{3}}\cos\!\left(-\frac{5\pi}{6}\right) = -1$$

이동량 $h = -6/3 = -2$를 복원하면 $x = t + 2$이므로 세 근은 $x_1=3$, $x_2=2$, $x_3=1$이 됩니다.

검증: $(x-1)(x-2)(x-3) = x^3-6x^2+11x-6$ ✓

역사적 배경

삼차방정식의 일반 해법은 16세기 이탈리아에서 탄생했습니다. 시피오네 델 페로가 약 1515년경에 처음 발견하고, 제롤라모 카르다노가 1545년 저서 『아르스 마그나(Ars Magna)』에 공개했습니다. 이는 이차방정식 이후 최초의 중요한 대수적 성과였으며, 카르다노가 니콜로 타르탈리아로부터 비밀 서약 아래 공식을 전수받고 출판해 버린 사건으로도 유명합니다.

같은 세기에 발견된 카수스 이레두키빌리스는 수학자들이 복소수를 처음으로 진지하게 받아들이는 계기가 되었습니다. 라파엘 봄벨리(1572)는 복소수 중간값을 일관되게 다루어 최종 결과가 실수로 수렴함을 최초로 검증했습니다.

삼차방정식이 등장하는 분야

공학 — 좌굴 하중, 진동수, 처짐 곡선 등에서 삼차 특성방정식이 자주 등장합니다. 제어 시스템의 극점도 복소 주파수 변수 $s$에 대한 삼차(또는 사차) 다항식의 근입니다.

컴퓨터 그래픽스 — 3차 베지어 곡선은 $t \in [0,1]$의 삼차 다항식으로 매개변수화됩니다. 베지어 곡선이 특정 $y$값과 교차하는 지점을 찾으려면 삼차방정식을 풀어야 합니다.

유체역학 — 반데르발스 상태방정식은 몰 부피 $V_m$에 대해 삼차입니다: $(P + a/V_m^2)(V_m - b) = RT$. 임계 온도 아래에서 세 근은 각각 액체, 불안정, 기체 상태에 대응합니다.

금융 — 일부 이색 옵션 가격 결정 모델과 세 기간 현금흐름에 대한 내부수익률(IRR) 계산에서 삼차방정식이 나타납니다.

자주 묻는 질문 (FAQ)

삼차방정식의 풀이법은 왜 이차방정식보다 훨씬 복잡한가요?

이차방정식은 판별식을 구한 뒤 제곱근 하나를 취하면 끝납니다. 삼차방정식은 먼저 x² 항을 소거해 소거형 삼차식으로 변환한 다음, 실근이 세 개인지(삼각함수법) 아니면 실근 한 개와 복소근 두 개인지(카르다노 세제곱근 공식)에 따라 서로 다른 방법을 써야 합니다. 각 방법 모두 이차방정식보다 훨씬 많은 대수적 조작이 필요합니다. 또한 포물선처럼 축 대칭으로 근을 균등하게 나누는 구조가 없다는 점도 복잡도를 높입니다. 참고로 5차 이상에서는 아벨의 불가능성 정리에 의해 사칙연산과 거듭제곱근만으로 표현되는 근의 공식이 존재하지 않습니다.

카수스 이레두키빌리스(casus irreducibilis)란 무엇인가요?

카수스 이레두키빌리스("환원 불가능한 경우")는 삼차방정식의 근이 세 개 모두 실수임에도 불구하고, 카르다노 공식을 따라가면 중간 과정에서 반드시 복소수를 거쳐야 하는 상황을 가리킵니다. 판별식 Δ > 0일 때, 세제곱근 안의 식이 음수가 되어 카르다노 공식을 그대로 적용하면 복소수의 세제곱근이 등장합니다. 삼각함수법은 세 근을 코사인 함수의 값으로 직접 표현해 복소수가 전혀 나타나지 않으며, 계산이 실수 범위 안에서 완결됩니다. 이 계산기는 Δ ≥ 0일 때 항상 삼각함수법을 사용합니다.

모든 삼차방정식에 실근이 적어도 하나 존재하나요?

그렇습니다. 실수 계수를 가진 홀수 차 다항식은 반드시 실근이 하나 이상 존재합니다. x → +∞이면 함수값은 +∞로, x → −∞이면 −∞로 발산하므로(a > 0인 경우), 사이값 정리에 의해 x축과 적어도 한 점에서 교차합니다. 삼차방정식의 실근은 Δ < 0이면 한 개, Δ ≥ 0이면 세 개이며, 실근이 하나도 없는 경우는 존재하지 않습니다.

계산 결과의 정확도는 어느 정도인가요?

이 계산기는 mathjs BigNumber 엔진을 통해 12자리 10진 산술을 사용하며, 근을 유효숫자 6자리로 표시합니다. 계수의 크기가 비슷한 정상적인 입력에서는 상대 오차가 통상 10⁻⁸ 미만입니다. 다만 두 근이 매우 가깝거나(Δ ≈ 0 근방), 계수의 크기 차이가 매우 클 경우에는 b³ − 9abc 계산에서 소거가 발생해 유효 자릿수가 줄어들 수 있습니다. 중근에 가까운 경우(Δ ≈ 0)에는 삼각함수법이 적용되어 경계 조건을 올바르게 처리합니다.