정삼각형 계산기

최종 업데이트: 2026-05-18

정의

정삼각형은 세 변이 모두 같고 세 내각이 정확히 60°인 삼각형입니다. 세 변의 길이가 동일하므로 변의 길이 하나만 알면 나머지 모든 값을 구할 수 있습니다.

높이

임의의 꼭짓점에서 대변에 수선을 내리면 대변이 정확히 이등분됩니다. 이렇게 만들어지는 두 개의 합동인 30-60-90 삼각형은 빗변이 $a$, 짧은 변이 $\tfrac{a}{2}$입니다. 피타고라스 정리에 의해:

$h^2 = a^2 - \left(\frac{a}{2}\right)^2 = \frac{3a^2}{4} \implies h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$

$a = 6$일 때: $h = 3\sqrt{3} \approx 5.196$

넓이

표준 공식 $S = \tfrac{1}{2} \times \text{밑변} \times \text{높이}$를 적용하면:

$S = \frac{1}{2} \times a \times \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$

$a = 6$일 때: $S = 9\sqrt{3} \approx 15.588$

외접원 반지름과 내접원 반지름

외접원 반지름 $R$ (세 꼭짓점을 지나는 원의 반지름):

$R = \frac{a}{\sqrt{3}} = \frac{a\sqrt{3}}{3}$

내접원 반지름 $r$ (세 변에 모두 접하는 내접원의 반지름):

$r = \frac{a\sqrt{3}}{6} = \frac{h}{3}$

주목할 만한 등식: $R = 2r$. 정삼각형에서는 외심, 내심, 무게중심, 수심이 모두 하나의 점에 일치합니다.

변 $a$	높이 $h$	넓이 $S$	$R$	$r$
1	0.866	0.433	0.577	0.289
6	5.196	15.588	3.464	1.732
10	8.660	43.301	5.774	2.887

30-60-90 삼각형과의 연관성

정삼각형은 세 중선으로 6개의 합동인 30-60-90 삼각형으로 나눌 수 있습니다. 30-60-90 삼각형의 세 변의 비가 $1 : \sqrt{3} : 2$이기 때문에 정삼각형의 모든 공식에 $\sqrt{3}$이 등장합니다.

R = 2r 증명

무게중심(외심, 내심과 일치)을 원점에 놓으면 각 중선의 길이는 $h = a\sqrt{3}/2$입니다. 무게중심은 각 중선을 꼭짓점에서 $2:1$로 나눕니다.

• 무게중심에서 꼭짓점까지의 거리: $\tfrac{2}{3} h = \tfrac{a\sqrt{3}}{3} = R$ ✓
• 무게중심에서 변의 중점까지의 거리: $\tfrac{1}{3} h = \tfrac{a\sqrt{3}}{6} = r$ ✓
• 따라서 $R = 2r$ ✓

자주 묻는 질문 (FAQ)

정삼각형의 넓이 공식은 무엇인가요?

한 변의 길이가 a인 정삼각형의 넓이는 S = (√3 ÷ 4) × a²입니다. 예를 들어 a = 6이면 S = (√3 ÷ 4) × 36 = 9√3 ≈ 15.588입니다. 이 공식은 밑변 × 높이 ÷ 2에 높이 h = a√3 ÷ 2를 대입하여 유도합니다.

정삼각형의 높이를 구하는 방법은 무엇인가요?

임의의 꼭짓점에서 대변에 수선을 내리면 대변이 정확히 이등분되어 30-60-90 삼각형 두 개가 생깁니다. 빗변은 a, 짧은 변은 a/2입니다. 피타고라스 정리에 의해 h² = a² − (a/2)² = 3a²/4이므로 h = a√3 ÷ 2입니다. a = 6일 때 h = 3√3 ≈ 5.196입니다.

정삼각형의 외접원 반지름은 얼마인가요?

외접원 반지름 R(세 꼭짓점을 지나는 원의 반지름)은 R = a√3 ÷ 3 = a ÷ √3입니다. a = 6이면 R = 6 ÷ √3 = 2√3 ≈ 3.464입니다. 확장된 사인 법칙 R = a ÷ (2 sin 60°) = a ÷ √3에서 유도됩니다.

정삼각형에서 외접원 반지름이 내접원 반지름의 2배인 이유는 무엇인가요?

정삼각형에서 R = a√3 ÷ 3이고 r = a√3 ÷ 6이므로 R = 2r이 정확히 성립합니다. 기하학적으로 정삼각형의 외심, 내심, 무게중심, 수심은 모두 한 점에 일치합니다. 무게중심은 각 중선을 꼭짓점에서 2:1로 나누므로, 꼭짓점까지의 거리가 R이고 변의 중점까지의 거리가 r이 됩니다.