정규분포 계산기

최종 업데이트: 2026-05-18

정규분포 계산기

정규분포(가우시안 분포)는 평균을 중심으로 좌우 대칭인 연속 확률 분포입니다. 수능 점수, 신체 측정값, 제조 공정의 오차, 금융 수익률 등 수많은 자연 현상과 사회 현상이 표본 수가 충분히 클 때 종 모양(벨 커브)의 정규분포에 근사합니다. 이 계산기는 정규분포에서 Z점수, 누적확률 P(X < x), 보완 확률 P(X > x), 백분위수, 확률밀도 f(x)를 산출합니다.

매개변수와 확률밀도함수

정규분포의 형태는 두 매개변수만으로 완전히 결정됩니다.

• μ (평균) — 분포의 중심
• σ (표준편차) — 값들이 평균으로부터 얼마나 퍼져 있는지

확률밀도함수는 다음과 같습니다.

$$f(x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} \exp\!\left(-\frac{(x - \mu)^2}{2\sigma^2}\right)$$

Z점수

Z점수는 어떤 값이 평균으로부터 몇 표준편차만큼 떨어져 있는지를 나타냅니다.

$$z = \frac{x - \mu}{\sigma}$$

Z점수	해석
z = 0	관측값이 평균과 일치
z = 1	평균보다 1σ 위
z = −2	평균보다 2σ 아래
z > 3	극단값 — 발생 확률 0.3% 미만

Z점수를 사용하면 척도가 다른 분포 간에도 상대적 위치를 비교할 수 있습니다. 수능 표준점수가 대표적인 예입니다. 원점수를 Z점수로 변환하면 과목별 난이도 차이에 관계없이 동일한 기준으로 성적을 비교할 수 있습니다.

누적확률: P(X < x)

P(X < x)는 종 모양 곡선에서 x 왼쪽의 면적으로, 이 분포에서 무작위로 추출한 값이 x보다 작을 확률을 나타냅니다.

$$P(X < x) = \Phi(z) = \frac{1}{2}\left[1 + \text{erf}\!\left(\frac{z}{\sqrt{2}}\right)\right]$$

여기서 **Φ(z)**는 표준정규분포 N(0, 1)의 누적분포함수(CDF)이며, erf는 오차함수(error function)로, $\text{erf}(t) = \frac{2}{\sqrt{\pi}} \int_0^t e^{-s^2}\,ds$로 정의되는 수학의 특수함수입니다.

이 계산기는 Abramowitz & Stegun §7.1.26의 유리 근사법(최대 오차 < 1.5 × 10⁻⁷)을 사용하며, 유효숫자 6자리 정확도로 계산합니다.

68–95–99.7 법칙

모든 정규분포에서 세 가지 핵심 구간이 실용적인 기준으로 사용됩니다.

구간	확률
μ ± 1σ	약 68.3%
μ ± 2σ	약 95.4%
μ ± 3σ	약 99.7%

즉, 평균으로부터 3σ 이상 벗어나는 값은 약 370개 중 1개 꼴로 나타납니다. 제조업의 품질 관리(3σ 관리, 6시그마 기준)나 의학 검사의 정상 범위 설정에서 이 법칙이 널리 활용됩니다. 혈액 검사 수치의 정상 범위가 대개 평균 ±2σ로 설정되는 것도 같은 원리입니다.

계산 예시

한 학급의 시험 점수가 평균 μ = 72점, 표준편차 σ = 8점의 정규분포를 따릅니다. 어느 학생이 x = 85점을 받았다면?

$$z = \frac{85 - 72}{8} = 1.625$$ $$P(X < 85) = \Phi(1.625) \approx 0.9479$$

이 학생은 약 95번째 백분위수에 해당합니다. 학급 전체의 약 94.8%보다 높은 점수이며, 상위 약 5.2%에 속합니다.

확률밀도 f(x)와 누적확률 P(X < x)의 차이

개념	기호	의미
확률밀도	f(x)	곡선의 높이 — 그 자체는 확률이 아님
누적확률	P(X < x)	곡선 아래 면적 — 실제 확률

표준편차 σ가 작은 좁은 분포에서는 f(x)가 1을 초과할 수 있습니다. f(x)는 밀도이지 확률 자체가 아니기 때문입니다. 연속 분포에서 특정 점의 정확한 값이 나올 확률은 항상 0이며, 구간에 대해서만 양의 확률이 정의됩니다.

자주 묻는 질문 (FAQ)

Z점수란 무엇이며 어떻게 계산합니까?

Z점수는 관측값이 평균으로부터 몇 표준편차만큼 떨어져 있는지를 나타냅니다: z = (x − μ) / σ. Z = 0이면 관측값이 평균과 같고, Z = 1이면 평균보다 표준편차 하나만큼 높으며, Z = −2이면 평균보다 두 표준편차만큼 낮습니다. Z점수를 이용하면 평균과 분산이 다른 분포 간에도 상대적 위치를 동일한 척도로 비교할 수 있습니다. 수능 표준점수가 대표적인 Z점수 활용 사례입니다.

정규분포에서 P(X < x)는 무슨 의미입니까?

P(X < x)는 누적확률로, 이 분포에서 무작위로 추출한 값이 x보다 작을 확률입니다. 종 모양 곡선에서 x 왼쪽의 면적에 해당합니다. 예를 들어 P(X < 75) = 0.69라면 이 분포의 값 중 약 69%가 75 미만임을 뜻합니다. P(X > x) = 1 − P(X < x)는 오른쪽 꼬리의 면적입니다.

정규분포의 68-95-99.7 법칙이란 무엇입니까?

모든 정규분포에서 전체 데이터의 약 68%는 평균으로부터 ±1σ(Z가 −1과 +1 사이) 범위 안에 들어오고, 약 95%는 ±2σ, 99.7%는 ±3σ 범위 안에 들어옵니다. 이 때문에 |Z| > 3인 값은 통계적 이상값으로 판단합니다. 정규분포에서 그런 값이 나타날 확률은 0.3% 미만입니다.

Z점수로 백분위수를 구하는 방법은 무엇입니까?

백분위수는 P(X < x) × 100으로 구합니다. Z = 0이면 50번째 백분위수(분포의 정확히 절반이 평균 아래에 있음)입니다. Z = 1.28은 약 90번째 백분위수, Z = 1.645는 약 95번째, Z = 2.326은 약 99번째 백분위수에 해당합니다. 이 계산기는 백분위수를 직접 산출하므로 Z표 조회가 필요 없습니다.