이차방정식 판별식 계산기

최종 업데이트: 2026-05-19

판별식의 정의

판별식은 이차방정식 ax² + bx + c = 0의 근의 성질을 나타내는 값으로, D = b² − 4ac로 정의됩니다. 근의 공식으로 직접 풀지 않아도 D의 부호만으로 실근인지 허근인지, 중근인지를 바로 알 수 있습니다. 중학교 3학년과 고등학교 수학에서 핵심적으로 다루는 개념이며, 공학·물리학에서 이차방정식의 해석이 필요할 때도 자주 활용됩니다.

판별식 계산 순서

1. 가운데 계수를 제곱합니다: b²
2. 양쪽 계수의 곱에 4를 곱합니다: 4 × a × c
3. 뺍니다: D = b² − 4ac

제곱근이나 분수 계산 없이 세 가지 기본 연산만으로 구할 수 있습니다. 결과의 부호가 근의 종류를 결정합니다.

D의 부호와 근의 종류

판별식	근의 종류	포물선의 모양
D > 0	서로 다른 두 실근	x축과 두 점에서 교차
D = 0	중근 (실수)	x축에 접함 (꼭짓점이 x축 위)
D < 0	두 허근 (켤레복소수)	x축과 교점 없음

D = 0일 때 포물선의 꼭짓점이 정확히 x축 위에 놓이며, 유일한 실근(중근)은 x = −b / (2a)입니다.

계산 예시

예시 1 — D > 0 (서로 다른 두 실근)

방정식: x² − 5x + 6 = 0 (a = 1, b = −5, c = 6)

계산: b² = 25, 4ac = 24, D = 25 − 24 = 1

D = 1 > 0이므로 서로 다른 두 실근이 존재합니다. 근의 공식을 적용하면 x = 2, x = 3이 나오며, 포물선 y = x² − 5x + 6이 x축과 만나는 두 점입니다.

예시 2 — D = 0 (중근)

방정식: x² − 6x + 9 = 0 (a = 1, b = −6, c = 9)

계산: b² = 36, 4ac = 36, D = 36 − 36 = 0

중근은 x = −(−6) / (2 × 1) = 3입니다. 이 방정식은 (x − 3)² = 0으로 인수분해되며, 포물선의 꼭짓점이 x = 3에서 x축에 접합니다.

예시 3 — D < 0 (허근)

방정식: x² + x + 1 = 0 (a = 1, b = 1, c = 1)

계산: b² = 1, 4ac = 4, D = 1 − 4 = −3

D = −3 < 0이므로 실근이 없습니다. 두 허근은 $x = (-1 \pm \sqrt{3}\,i) / 2 \approx -0.5 \pm 0.866i$인 켤레복소수입니다. 이 계산기가 표시하는 $\sqrt{|D|} = \sqrt{3} \approx 1.732$는 허수부의 절댓값에 해당합니다.

근의 공식과의 관계

근의 공식은 다음과 같습니다.

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

$\sqrt{\cdot}$ 아래의 값이 바로 판별식 D입니다. D > 0이면 $\sqrt{D}$가 양의 실수가 되어 ±로 두 실근이 나옵니다. D = 0이면 $\sqrt{D} = 0$이 되어 중근 하나만 남습니다. D < 0이면 $\sqrt{D}$가 허수가 되어 두 켤레복소수 근이 나타납니다. 판별식을 먼저 계산하면 어떤 경우에 해당하는지 미리 파악할 수 있어 불필요한 계산을 줄일 수 있습니다.

특수한 경우: a = 0

a = 0이면 ax² + bx + c = 0은 일차방정식 bx + c = 0으로 바뀝니다. D = b² − 4ac를 계산해도 값이 나오지만, 이차방정식의 판별식으로서의 의미가 없습니다. 이 계산기는 a ≠ 0을 요구하며, a = 0을 입력하면 오류 메시지가 표시됩니다. 일차방정식의 해는 x = −c / b (b ≠ 0인 경우)로 바로 구할 수 있습니다.

자주 묻는 질문 (FAQ)

판별식은 왜 사용하나요?

판별식 D = b² − 4ac는 이차방정식 ax² + bx + c = 0을 직접 풀지 않아도 근의 성질을 파악할 수 있는 지표입니다. D > 0이면 포물선 y = ax² + bx + c가 x축과 서로 다른 두 점에서 만나 두 개의 실근을 가집니다. D = 0이면 x축과 한 점에서 접하여 중근이 됩니다. D < 0이면 x축과 만나지 않아 두 허근을 가집니다. 근의 공식 안의 √ 아래에 있는 값이 바로 판별식이므로, 그 부호가 근의 종류를 결정합니다.

판별식이 음수이면 어떻게 되나요?

D = b² − 4ac가 음수이면 √D가 허수가 되어 실근이 존재하지 않습니다. 두 근은 α ± βi 형태의 켤레복소수이며, α = −b / (2a), β = √|D| / (2a)입니다. 계수 a, b, c가 모두 실수일 때 복소수 근은 반드시 켤레 쌍으로 나타납니다. 기하학적으로는 포물선 전체가 x축 위 또는 아래에 위치하여 교점이 없는 상태를 의미합니다.

판별식과 근의 공식은 어떤 관계인가요?

근의 공식 x = (−b ± √(b² − 4ac)) / (2a)에서 √ 아래의 값이 판별식 D입니다. D > 0이면 √D가 양의 실수가 되어 ±로 두 실근이 나옵니다. D = 0이면 √D = 0이 되어 ± 항이 사라지고 중근 x = −b / (2a) 하나만 남습니다. D < 0이면 √D가 허수가 되어 두 켤레복소수 근이 나타납니다. 판별식은 근을 실제로 구하기 전에 어떤 경우에 해당하는지 미리 알려 주는 역할을 합니다.

a = 0이면 어떻게 되나요?

a = 0이면 ax² + bx + c = 0은 일차방정식 bx + c = 0으로 바뀝니다. 이때 D = b² − 4ac를 계산하면 값은 나오지만 이차방정식의 판별식으로서의 의미가 없습니다. 이 계산기는 a ≠ 0을 요구하며, a = 0을 입력하면 오류 메시지가 표시됩니다. 일차방정식의 해는 x = −c / b (단, b ≠ 0)로 바로 구할 수 있습니다.