사다리꼴 넓이를 공식 (a+b)÷2×h로 계산합니다. 두 평행 변과 높이를 입력하면 넓이가 산출됩니다.
입력
결과
사다리꼴이 둘러싸는 평면의 크기.
a = 8\,\text{cm}b = 5\,\text{cm}h = 4\,\text{cm}
\begin{aligned} A &= \dfrac{a + b}{2} \times h \\ &= \dfrac{8\,\text{cm} + 5\,\text{cm}}{2} \times 4\,\text{cm} \\ &= ?\,\text{cm²} \end{aligned}
사다리꼴이란
사다리꼴은 네 변 중 한 쌍의 대변만 평행한 사각형입니다. 평행한 두 변을 각각 윗변(a)과 아랫변(b), 두 평행 변 사이의 수직 거리를 높이(h)라 합니다.
공식
평행 변이 a, b이고 수직 높이가 h인 사다리꼴의 넓이:
A = (a + b) ÷ 2 × h
두 평행 변의 평균 길이에 높이를 곱한 값입니다.
공식의 유도
사다리꼴의 중위선(두 비평행 변의 중점을 이은 선분)의 길이는 (a + b) ÷ 2입니다. 이 길이를 너비로, h를 높이로 하는 직사각형의 넓이가 사다리꼴과 동일합니다. 한쪽에서 삼각형이 잘려나가는 만큼 반대편 빈 공간을 정확히 채우기 때문입니다.
이 관계는 수치적분의 사다리꼴 공식과도 직결됩니다. 곡선 아래 넓이를 근사할 때 이 공식을 그대로 사용합니다.
높이의 정의
공식의 높이 h는 두 평행 변 사이의 수직 거리입니다. 직각으로 잰 거리이며, 빗변(비평행 변)의 길이가 아닙니다.
빗변의 길이 s와 밑변과 이루는 각도 θ만 알고 있다면:
h = s × sin(θ)
로 수직 높이를 먼저 구한 뒤 넓이 공식에 대입하십시오. 빗변 길이를 h 자리에 그대로 넣으면 실제 넓이보다 큰 값이 나옵니다.
사다리꼴의 종류
종류
특징
일반 사다리꼴
한 쌍의 대변만 평행
등변 사다리꼴
비평행 변의 길이가 같고 선대칭
직각 사다리꼴
한 쪽 비평행 변이 밑변에 수직
평행사변형
두 쌍의 대변이 모두 평행(특수한 경우)
넓이 공식 A = (a + b) ÷ 2 × h는 모든 종류에 적용됩니다.
미국식 영어로는 trapezoid, 영국식 영어로는 trapezium이라고 부릅니다. 같은 도형을 가리키는 서로 다른 표현입니다.
특수한 경우
조건
도형
단순화된 공식
a = b
평행사변형
A = a × h
b = 0
삼각형
A = a ÷ 2 × h
a = b이고 h = a
정사각형·직사각형
A = a²
사다리꼴 넓이 공식은 삼각형과 평행사변형을 모두 포함하는 가장 일반적인 다각형 넓이 공식입니다.
계산 예시
농업용 수로의 단면이 사다리꼴 모양으로, 바닥 너비 0.8 m, 수면 너비 1.4 m, 수심 0.6 m인 경우:
단면적:
A = (0.8 + 1.4) ÷ 2 × 0.6 = 1.1 × 0.6 = 0.66 m²
이 단면적과 유속을 곱하면 유량(m³/s)을 구할 수 있습니다.
다른 예시: 사다리꼴 모양의 토지로 윗변 15 m, 아랫변 25 m, 높이 12 m인 경우, 넓이는 (15 + 25) ÷ 2 × 12 = 240 m²입니다.
활용 분야
사다리꼴 단면은 토목·건축 분야에서 수로, 제방, 도로 절개면 등의 단면적 계산에 활용됩니다. 농업 분야에서는 수리 계산(유량 산출), 학교 수학에서는 중학교 도형 단원의 기본 공식으로 다룹니다.
자주 묻는 질문 (FAQ)
사다리꼴 넓이 공식은?
사다리꼴 넓이는 (윗변+아랫변)÷2×높이, 즉 A = (a+b)÷2×h로 구합니다. 두 평행 변의 평균에 높이를 곱한 값입니다. 예를 들어 윗변 8 cm, 아랫변 5 cm, 높이 4 cm인 사다리꼴의 넓이는 (8+5)÷2×4 = 6.5×4 = 26 cm²입니다.
사다리꼴과 평행사변형의 차이는?
사다리꼴은 한 쌍의 대변만 평행한 사각형입니다. 평행사변형은 두 쌍의 대변이 모두 평행하므로, 사다리꼴의 특수한 경우에 해당합니다. 윗변과 아랫변이 같아지면(a = b) 사다리꼴은 평행사변형이 됩니다. 영어로는 미국식 trapezoid, 영국식 trapezium이 같은 도형을 가리킵니다.
사다리꼴의 높이는 빗변 길이인가요, 수직 거리인가요?
공식의 높이 h는 두 평행 변 사이의 수직 거리(직각으로 잰 거리)입니다. 빗변(비평행 변)의 길이가 아닙니다. 빗변의 길이 s와 기울기 각도 θ만 알고 있다면, h = s × sin(θ)로 수직 높이를 먼저 구한 뒤 공식에 대입하십시오. 빗변 길이를 높이로 잘못 넣으면 실제보다 큰 값이 나옵니다.
평행사변형은 사다리꼴의 특수한 경우인가요?
맞습니다. 윗변과 아랫변이 같으면(a = b) 사다리꼴이 평행사변형이 되고 공식은 A = a × h로 단순해집니다. 아랫변이 0이면(b = 0) 삼각형이 되며 A = a÷2×h의 삼각형 넓이 공식과 일치합니다. 사다리꼴 넓이 공식은 삼각형·평행사변형·직사각형을 모두 포괄하는 가장 일반적인 다각형 넓이 공식입니다.
