삼각형 계산기(ASA) — 한 변과 두 각으로 전체 요소 계산

최종 업데이트: 2026-05-18

ASA 삼각형의 정의와 풀이

ASA(각-변-각) 조건은 한 변의 양 끝에 각도가 알려진 경우입니다. 삼각형의 내각의 합은 항상 180°이므로, 세 번째 각도는 단순한 뺄셈으로 구할 수 있습니다. 이후 사인 법칙으로 나머지 두 변을 구하고, 사인 법칙의 확장형으로 외접원 반지름을 직접 계산합니다.

세 번째 각도 계산

$C = 180° - A - B$

삼각함수가 전혀 필요 없는 순수한 산술 계산입니다. 두 각도가 정해지면 삼각형의 모양이 완전히 결정되며, 변의 길이는 크기(축척)를 결정합니다.

사인 법칙을 이용한 미지변 계산

$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$

알려진 변 $c$와 유도된 각도 $C$를 이용하면:

$a = \frac{c \sin A}{\sin C}, \qquad b = \frac{c \sin B}{\sin C}$

계산 예시 — $c = 8$, $A = 50°$, $B = 60°$:

$C = 180° - 50° - 60° = 70°$

$a = \frac{8 \sin 50°}{\sin 70°} \approx \frac{8 \times 0.766}{0.940} \approx 6.527$

$b = \frac{8 \sin 60°}{\sin 70°} \approx \frac{8 \times 0.866}{0.940} \approx 7.378$

넓이 계산

ASA 입력값에서 변을 먼저 구하지 않고 넓이를 바로 계산할 수 있습니다:

$S = \frac{c^2 \sin A \sin B}{2 \sin C}$

이 공식은 중간 단계의 반올림 오차를 피할 수 있어 더 정확합니다.

외접원 반지름 — 사인 법칙의 확장형

사인 법칙의 공통비는 외접원의 지름과 같습니다:

$\frac{c}{\sin C} = 2R \implies R = \frac{c}{2\sin C}$

위 예시의 경우: $R = 8 \div (2\sin 70°) \approx 4.257$.

직각삼각형($C = 90°$, $\sin 90° = 1$)이면 $R = c/2$가 됩니다 — 외접원 반지름이 빗변의 절반이라는 유명한 결과입니다.

내접원 반지름

$r = \frac{S}{s}, \quad s = \frac{a + b + c}{2}$

ASA와 AAS의 차이

두 경우 모두 삼각형을 유일하게 결정합니다:

• ASA: 알려진 변이 두 각 사이에 있습니다.
• AAS: 알려진 변이 두 각 사이에 없습니다.

수치 계산으로는 두 경우 모두 $C = 180° - A - B$를 구한 뒤 사인 법칙을 적용하는 방식이 동일합니다. 차이는 기하학의 합동 증명에서만 의미가 있습니다.

적용 조건과 한계

SSA(두 변과 대각) 조건에 사인 법칙을 적용하면 같은 측정값을 만족하는 삼각형이 두 개 존재할 수 있는 '모호한 경우'가 생깁니다. 이 계산기는 알려진 변의 양 끝에 각도가 있는 ASA 조건만 다루므로 이러한 모호함이 발생하지 않습니다.

자주 묻는 질문 (FAQ)

한 변과 양쪽 끝 각도를 알 때 삼각형을 어떻게 풀 수 있나요?

먼저 세 번째 각도를 구합니다: C = 180° − A − B. 그런 다음 사인 법칙(a ÷ sin A = c ÷ sin C)을 사용해 미지변을 계산합니다: a = c × sin A ÷ sin C, b = c × sin B ÷ sin C. 예를 들어 c = 8, A = 50°, B = 60°이면 C = 70°, a = 8 × sin 50° ÷ sin 70° ≈ 6.527, b = 8 × sin 60° ÷ sin 70° ≈ 7.378입니다.

사인 법칙이란 무엇인가요?

사인 법칙은 임의의 삼각형에서 a ÷ sin A = b ÷ sin B = c ÷ sin C = 2R이 성립한다는 법칙입니다(R은 외접원 반지름). 이 공통 비는 외접원의 지름과 같습니다. 각도와 그 대변이 알려진 경우(ASA, AAS)에 사인 법칙을 쓰고, 두 변과 끼인각이 알려진 경우(SAS, SSS)에는 코사인 법칙을 씁니다.

외접원 반지름과 사인 법칙은 어떤 관계인가요?

확장 사인 법칙에서 바로 R = c ÷ (2 sin C)를 얻을 수 있습니다. 외접원 반지름은 임의의 변을 그 대각의 사인값의 두 배로 나눈 값과 같습니다. 직각삼각형(C = 90°)에서는 sin 90° = 1이므로 R = c ÷ 2가 되어 외접원 반지름이 빗변의 절반이 됩니다. ASA의 경우 알려진 변 c와 유도된 각 C로 R을 계산합니다.

ASA와 AAS의 차이는 무엇인가요?

ASA(각-변-각)는 알려진 변이 두 각 사이에 있는 경우, AAS(각-각-변)는 알려진 변이 두 각 사이에 없는 경우입니다. 두 경우 모두 삼각형을 유일하게 결정하며, 세 번째 각 C = 180° − A − B를 구한 후에는 사인 법칙으로 동일하게 풀 수 있습니다. 이 차이는 기하학의 합동 증명에서 중요하지만 수치 계산에는 영향을 주지 않습니다.