삼각형 계산기(SAS) — 두 변과 끼인각으로 전체 요소 계산

최종 업데이트: 2026-05-18

두 변과 끼인각으로 삼각형 풀기(SAS)

SAS(변-각-변) 조건은 두 변의 길이와 그 사이에 낀 각도를 알고 있을 때 삼각형을 완전히 풀어내는 방법입니다. 코사인 법칙으로 세 번째 변을 먼저 구한 뒤, 나머지 각도·넓이·외접원과 내접원의 반지름을 차례로 계산합니다.

세 번째 변 구하기

변 $a$와 $b$, 그리고 끼인각 $C$를 알 때, $C$의 대변 $c$는 다음 공식으로 구합니다.

$c = \sqrt{a^2 + b^2 - 2ab\cos C}$

계산 예시 — $a = 5$, $b = 7$, $C = 60°$:

$c = \sqrt{25 + 49 - 2 \times 5 \times 7 \times \cos 60°} = \sqrt{74 - 35} = \sqrt{39} \approx 6.245$

$C = 90°$이면 $\cos 90° = 0$이 되어 $c = \sqrt{a^2 + b^2}$, 즉 피타고라스 정리로 귀결됩니다.

SAS에서 넓이 구하기

넓이는 $c$를 구하지 않고도 두 변과 끼인각으로 바로 계산할 수 있습니다.

$S = \frac{1}{2}\,ab\sin C$

위 예시에서 $S = \tfrac{1}{2} \times 5 \times 7 \times \sin 60° = \tfrac{35\sqrt{3}}{4} \approx 15.155$입니다.

나머지 각도 구하기

$c$를 알게 되면 코사인 법칙을 다시 적용해 각 $A$를 구합니다.

$A = \arccos\!\left(\frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}\right)$

그런 다음 $B = 180° - A - C$.

사인 법칙($A = \arcsin(a\sin C \div c)$)도 쓸 수 있지만, 코사인 법칙 형태가 더 안전합니다. $\arcsin$은 둔각에서 두 가지 값을 줄 수 있기 때문입니다.

외접원·내접원 반지름

세 변과 넓이를 모두 알게 되면 반지름을 구할 수 있습니다.

$R = \frac{abc}{4S}, \qquad r = \frac{S}{s} \quad\text{(}s = \frac{a+b+c}{2}\text{)}$

직각삼각형 3-4-5 ($a=3$, $b=4$, $C=90°$)의 경우: $c=5$, $S=6$, $R=2.5$, $r=1$.

SAS vs. SSS 선택 기준

주어진 것	구할 것	방법
SSS (변 3개)	모든 각도	코사인 법칙(3회) + 헤론의 공식
SAS (변 2개 + 끼인각)	세 번째 변 → 각도	코사인 법칙 → SSS

각도기나 측량 기구로 각도를 직접 잴 때는 SAS가 자연스러운 선택입니다. 세 번째 변을 구한 뒤에는 SSS 문제로 바꿔 풀면 됩니다.

SSA 조건과의 구별

SAS는 각이 두 변 사이에 있어야 합니다. 각이 두 변 사이에 없으면 SSA 조건이 되며, 이 경우 해가 0개, 1개, 또는 2개가 될 수 있습니다. 이 계산기는 항상 유일한 해를 갖는 SAS 조건만 처리합니다.

자주 묻는 질문 (FAQ)

두 변과 끼인각을 알 때 세 번째 변은 어떻게 구하나요?

코사인 법칙을 씁니다: c² = a² + b² − 2ab cos C. 예시로 a = 5, b = 7, C = 60°이면 c² = 25 + 49 − 2 × 5 × 7 × cos 60° = 74 − 35 = 39이므로 c = √39 ≈ 6.245입니다. C = 90°일 때는 cos 90° = 0이 되어 피타고라스 정리와 같아집니다.

삼각형에서 SAS 조건이란 무엇인가요?

SAS(변-각-변)는 두 변과 그 사이에 끼인 각이 주어진 경우를 말합니다. 삼각형의 합동 조건 중 하나로, 같은 SAS 구성을 가진 두 삼각형은 합동입니다. 각이 두 변 사이에 끼어 있지 않으면 SSA 조건이 되어 해가 0개, 1개, 또는 2개가 될 수 있습니다.

SAS에서 세 번째 변을 구한 후 나머지 각도는 어떻게 계산하나요?

세 변을 모두 알게 된 뒤 코사인 법칙을 다시 적용합니다: A = arccos((b² + c² − a²) ÷ (2bc)), 그런 다음 B = 180° − A − C. 사인 법칙 A = arcsin(a sin C ÷ c)도 쓸 수 있지만, 코사인 법칙이 둔각에서의 arcsin 모호성을 피할 수 있어 더 안전합니다.

SAS와 SSS 중 어느 것을 써야 하나요?

세 변을 모두 알면 SSS를 씁니다. 두 변과 끼인각을 알면 SAS를 쓰는데, 먼저 코사인 법칙으로 세 번째 변을 구한 뒤 SSS처럼 풀면 됩니다. 실제로는 각도기나 측량 기구로 각도를 직접 잴 때 SAS가 많이 쓰이고, 세 변을 모두 직접 측정할 수 있을 때는 SSS를 씁니다.