삼각형 계산기 (SSS) — 세 변으로 모든 요소 계산

최종 업데이트: 2026-05-18

세 변으로 삼각형 풀기 (SSS)

삼각형의 세 변 길이를 모두 알 때(SSS 조건), 코사인 법칙을 이용하면 모든 각도, 넓이, 외접원·내접원 반지름을 구할 수 있습니다.

코사인 법칙

삼각형의 변 $a$, $b$, $c$와 대각 $A$, $B$, $C$의 관계:

$\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$

따라서 $A = \arccos\!\left(\dfrac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}\right)$. $B$도 같은 방법으로 구하고, $C = 180° - A - B$.

계산 예시 — 3:4:5 직각삼각형:

$A = \arccos\!\left(\frac{16 + 25 - 9}{40}\right) = \arccos(0.8) \approx 36.87°$

$B \approx 53.13°, \quad C = 90°$

삼변 부등식

어떤 세 길이도 삼각형이 되는 것은 아닙니다. 다음 조건을 만족해야 합니다.

$a + b > c, \quad b + c > a, \quad a + c > b$

예컨대 1, 2, 10은 $1 + 2 = 3 < 10$이므로 삼각형이 되지 않습니다.

헤론의 공식으로 넓이 구하기

각도 계산 없이 세 변으로 직접 넓이를 구할 수 있습니다. 먼저 반둘레를 계산합니다.

$s = \frac{a + b + c}{2}$

그런 다음 헤론의 공식을 적용합니다.

$S = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$

3:4:5 삼각형: $s = 6$, $S = \sqrt{36} = 6$.

외접원·내접원 반지름

외접원 반지름 $R$ (세 꼭짓점을 지나는 원):

$R = \frac{abc}{4S}$

내접원 반지름 $r$ (세 변에 접하는 원):

$r = \frac{S}{s}$

3:4:5 삼각형: $R = 60/24 = 2.5$, $r = 1$.

직각삼각형에서는 $R = c/2$ (빗변의 절반)가 되므로 검산에 활용할 수 있습니다.

피타고라스 정리와의 관계

$C = 90°$일 때 $\cos 90° = 0$이므로 코사인 법칙은 다음과 같이 단순화됩니다.

$c^2 = a^2 + b^2$

피타고라스 정리는 코사인 법칙의 특수한 경우입니다.

대표적인 피타고라스 수

a	b	c	넓이
3	4	5	6
5	12	13	30
8	15	17	60
7	24	25	84

어떤 피타고라스 수의 정수배도 피타고라스 수입니다(예: 6, 8, 10 = 3, 4, 5의 2배).

자주 묻는 질문 (FAQ)

세 변의 길이로 각도를 구하는 방법은?

코사인 법칙을 사용합니다: cos A = (b² + c² − a²) ÷ (2bc), 따라서 A = arccos((b² + c² − a²) ÷ (2bc)). 각 B도 같은 방식으로 구하고, C = 180° − A − B로 계산합니다. 예시: 변 3, 4, 5이면 A ≈ 36.87°, B ≈ 53.13°, C = 90°.

코사인 법칙이란 무엇이고 언제 사용하나요?

코사인 법칙은 피타고라스 정리를 임의의 삼각형으로 확장한 것입니다: c² = a² + b² − 2ab cos C. SSS(세 변)에서는 각도를 구할 때, SAS(두 변과 끼인각)에서는 세 번째 변을 구할 때 사용합니다. C = 90°이면 cos 90° = 0이 되어 피타고라스 정리로 환원됩니다.

세 변으로 외접원·내접원 반지름을 어떻게 구하나요?

외접원 반지름 R(세 꼭짓점을 지나는 원): R = abc ÷ (4S). 내접원 반지름 r(세 변에 접하는 원): r = S ÷ s, 여기서 s = (a + b + c) ÷ 2. 3-4-5 삼각형의 경우: S = 6이므로 R = 60 ÷ 24 = 2.5, r = 6 ÷ 6 = 1.

세 길이가 주어지면 항상 삼각형이 만들어지나요?

아니요. 삼변 부등식에 따라 각 변은 나머지 두 변의 합보다 짧아야 합니다: a + b > c, b + c > a, a + c > b. 예를 들어 1, 2, 10은 1 + 2 = 3 < 10이므로 삼각형이 되지 않습니다. 등호가 성립하면 넓이가 0인 퇴화 삼각형이 됩니다.

SSS 방법과 헤론의 공식은 어떻게 다른가요?

헤론의 공식은 세 변으로 넓이만 구합니다. SSS 방법(코사인 법칙)은 모든 각도와 외접원·내접원 반지름까지 구합니다. 실제로는 두 방법을 함께 사용합니다: 헤론의 공식으로 넓이를 구한 뒤, R = abc ÷ (4S)와 r = S ÷ s로 반지름을 계산합니다.