벡터 크기 계산기

최종 업데이트: 2026-05-19

벡터의 크기란 무엇인가?

벡터의 크기란 원점에서 벡터의 끝점까지의 직선 거리를 말합니다. n차원 벡터 v = (v₁, v₂, …, vₙ)에 대해 유클리드 크기(L² 노름)는 다음과 같이 정의됩니다.

$|\mathbf{v}| = \sqrt{v_1^2 + v_2^2 + \cdots + v_n^2} = \sqrt{\sum_{i=1}^{n} v_i^2}$

이 계산기에 성분을 쉼표로 구분하여 입력하면(예: 3, 4 또는 1, 2, 3), 크기·차원·단위벡터를 한 번에 구할 수 있습니다.

공식의 유래

이 공식은 피타고라스 정리를 n차원으로 일반화한 것입니다. 2차원 벡터 (a, b)는 직각삼각형의 빗변을 이루므로 $|\mathbf{v}| = \sqrt{a^2 + b^2}$입니다. 3차원 벡터 (a, b, c)는 직육면체의 공간 대각선에 해당하여 $|\mathbf{v}| = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}$가 됩니다. 4차원 이상은 시각화가 어렵지만 계산 원리는 동일합니다. 모든 성분을 제곱하여 합산한 뒤 제곱근을 취하면 됩니다.

계산 예시

문제: v = (3, 4, 12)의 크기와 단위벡터를 구하세요.

1단계 — 각 성분을 제곱하여 합산: $3^2 + 4^2 + 12^2 = 9 + 16 + 144 = 169$

2단계 — 제곱근 계산: $|\mathbf{v}| = \sqrt{169} = 13$

3단계 — 각 성분을 크기로 나누어 단위벡터 계산: $\hat{\mathbf{v}} = \left(\frac{3}{13},\ \frac{4}{13},\ \frac{12}{13}\right) \approx (0.230769,\ 0.307692,\ 0.923077)$

해석: 벡터 (3, 4, 12)의 크기는 13입니다. 단위벡터는 이 벡터의 방향을 나타내며, 크기를 1로 정규화한 것입니다.

단위벡터란?

단위벡터는 크기가 정확히 1인 벡터로, 원래 벡터의 방향을 그대로 유지합니다. 각 성분을 크기 |v|로 나누어 구합니다.

$\hat{\mathbf{v}} = \frac{\mathbf{v}}{|\mathbf{v}|} = \left(\frac{v_1}{|\mathbf{v}|},\ \frac{v_2}{|\mathbf{v}|},\ \ldots,\ \frac{v_n}{|\mathbf{v}|}\right)$

단위벡터는 크기 정보를 제거하고 방향만을 표현하기 때문에 다양한 분야에서 활용됩니다.

• 물리학: 힘·속도의 방향 벡터, 표면 법선벡터
• 컴퓨터 그래픽스: 조명 계산, 카메라 방향 표현
• 기계 학습: 코사인 유사도, 특징 벡터 정규화
• 내비게이션: 변위 벡터에서 방위각 도출

영벡터(모든 성분이 0)는 크기가 0이므로 단위벡터가 정의되지 않습니다.

다른 노름과의 비교

유클리드 노름(L²) 외에도 두 가지 노름이 자주 등장합니다.

노름	공식	다른 이름	주요 사용 분야
L¹	Σ |vᵢ|	맨해튼 거리	희소 모델(LASSO), 격자 거리
L²	$\sqrt{\sum v_i^2}$	유클리드 거리	기하학, 물리학, 코사인 유사도
L∞	max |vᵢ|	체비쇼프 거리	체스판 거리, 제어 이론

이 계산기는 L²(유클리드) 노름을 계산하며, 이것이 대부분의 과학·공학 맥락에서 "벡터의 길이"로 통용되는 표준입니다.

주요 활용 분야

• 물리학: 속도 벡터의 크기(속력) 또는 성분 표현된 힘의 크기 계산
• 컴퓨터 그래픽스: 법선벡터를 조명 계산 전에 단위벡터로 정규화
• 데이터 과학: 코사인 유사도 검색 전 특징 벡터의 L2 정규화
• 로보틱스: 관절 변위 벡터로부터 말단 장치의 도달 거리 산출
• 측량·내비게이션: (동-서, 남-북, 수직) 변위 성분으로 실제 이동 거리 계산

사용 방법

• 성분을 쉼표로 구분하여 입력합니다: 3, 4 또는 1, 2, 3 또는 0.5, -1.2, 0.8, 2.0
• 음수 성분도 입력 가능합니다. 제곱하면 양수가 되므로 크기 계산에 영향이 없습니다.
• 소수 성분도 지원합니다: 1.5, 2.5를 입력하면 |v| ≈ 2.915476이 됩니다.
• 성분이 하나뿐인 경우(예: 5)는 크기 5, 단위벡터 (1)이 반환됩니다.

자주 묻는 질문 (FAQ)

벡터의 크기(노름)란 무엇인가요?

벡터의 크기(노름, norm)는 원점에서 벡터의 끝점까지의 직선 거리입니다. n차원 벡터 v = (v₁, v₂, …, vₙ)에 대해 유클리드 노름은 |v| = √(v₁² + v₂² + ⋯ + vₙ²)로 정의됩니다. 이는 피타고라스 정리를 임의의 차원으로 일반화한 것으로, L² 노름이라고도 합니다. 예를 들어 v = (3, 4)이면 |v| = √(9 + 16) = 5입니다.

단위벡터는 어떻게 구하나요?

단위벡터는 크기가 정확히 1이면서 원래 벡터와 방향이 같은 벡터입니다. 각 성분을 크기로 나누어 구합니다: v̂ = v / |v| = (v₁/|v|, v₂/|v|, …, vₙ/|v|). 크기 정보를 제거하고 방향만 남기기 때문에, 3D 그래픽스의 법선벡터 계산, 물리학의 힘 방향 표현, 기계 학습의 코사인 유사도 계산 등에 널리 사용됩니다. 영벡터(모든 성분이 0)는 크기가 0이므로 단위벡터가 존재하지 않습니다.

3차원 이상의 벡터 크기는 어떻게 계산하나요?

|v| = √(Σ vᵢ²) 공식은 차원 수에 관계없이 적용됩니다. 3차원 벡터 (a, b, c)의 경우 √(a² + b² + c²)로, 직육면체의 공간 대각선 길이와 일치합니다. 4차원 이상은 기하학적 직관이 어렵지만 계산 방법은 동일합니다. 이 계산기는 쉼표로 구분된 임의의 성분 목록을 받아 n차원 벡터의 크기를 계산합니다.

L¹ 노름과 L∞ 노름은 어디에 쓰이나요?

유클리드 노름(L²) 외에도 여러 노름이 활용됩니다. L¹ 노름(맨해튼 거리)은 각 성분의 절댓값을 합산합니다: ‖v‖₁ = |v₁| + |v₂| + ⋯. 희소 모델(LASSO 정규화)과 격자형 도로 거리 계산에 사용됩니다. L∞ 노름(체비쇼프 거리)은 성분 절댓값의 최댓값을 취합니다: ‖v‖∞ = max(|v₁|, …, |vₙ|). 체스판 이동 거리 계산이나 제어 이론에 등장합니다. 대부분의 과학·공학 분야에서 "벡터의 길이"는 유클리드 노름을 기본으로 사용합니다.