Zuletzt aktualisiert: 2026-07-01

Definition

Der Massenmittelpunkt eines Systems aus Punktmassen ist das massengewichtete Mittel ihrer Positionen – der eine Punkt, der sich für die Bewegung so verhält, als wäre die gesamte Masse dort vereint. Für entlang einer Geraden angeordnete Objekte gib jede Masse und ihre Position ein, und dieser Rechner liefert x_cm = Σ(mᵢxᵢ) ÷ Σmᵢ für bis zu vier Punktmassen.

Die Formel

Jede Masse mᵢ wird mit ihrer Position xᵢ multipliziert, die Produkte werden summiert und das Ergebnis durch die Gesamtmasse geteilt. Ein schwereres Objekt liefert ein größeres Produkt und zieht den Massenmittelpunkt daher stärker zu seiner Position. Sind alle Massen gleich, reduziert sich die Formel auf das einfache Mittel der Positionen (x₁ + x₂ + … + xₙ) ÷ n – den geometrischen Mittelpunkt.

Die Positionen werden entlang einer einzigen Achse gemessen und dürfen daher negativ sein. Die Wahl des Ursprungs beeinflusst die Physik nicht: Verschiebt man alle Positionen um denselben Betrag, verschiebt sich der Massenmittelpunkt um genau diesen Betrag.

Rechenbeispiel – zwei Objekte

Eine 2-kg-Kugel liegt bei x = 0 m und eine 3-kg-Kugel bei x = 5 m.

Gesamtmasse: 2 + 3 = 5 kg

Gewichtete Summe: 2 × 0 + 3 × 5 = 0 + 15 = 15 kg·m

Massenmittelpunkt: 15 ÷ 5 = 3 m

Der Massenmittelpunkt liegt bei 3 m – hinter dem Mittelpunkt von 2,5 m und näher an der schwereren 3-kg-Kugel, genau wie es die Intuition nahelegt.

Rechenbeispiel – drei Objekte

Drei Massen liegen auf einer Schiene:

Gesamtmasse: 2 + 3 + 5 = 10 kg

Gewichtete Summe: 0 + 3 + 10 = 13 kg·m

Massenmittelpunkt: 13 ÷ 10 = 1,3 m

Da die 5-kg-Masse bei x = 2 m dominiert, wird der Massenmittelpunkt zum rechten Ende der Schiene gezogen, deutlich über den geometrischen Mittelpunkt der drei Positionen (1,0 m) hinaus.

Rechenbeispiel – negative Positionen

Setze einen 4-kg-Block bei x = −3 m und einen 1-kg-Block bei x = 2 m, mit dem Ursprung dazwischen.

Gesamtmasse: 4 + 1 = 5 kg

Gewichtete Summe: 4 × (−3) + 1 × 2 = −12 + 2 = −10 kg·m

Massenmittelpunkt: −10 ÷ 5 = −2 m

Das Ergebnis ist negativ und liegt auf derselben Seite wie der schwerere Block. Das zeigt, dass der Massenmittelpunkt mit keinem Objekt zusammenfallen muss und nicht zwangsläufig positiv ist – er gibt schlicht an, wo die Masse konzentriert ist.

Massenmittelpunkt versus Schwerpunkt

Der geometrische Schwerpunkt ist das rein geometrische Mittel der Positionen und behandelt jeden Punkt gleich. Der Massenmittelpunkt gewichtet jede Position mit ihrer Masse. Beide stimmen nur überein, wenn die Massen identisch sind; sobald sie sich unterscheiden, wandert der Massenmittelpunkt zu den schwereren Objekten, während der geometrische Schwerpunkt am geometrischen Zentrum bleibt.

Nicht genutzte Felder

Dieser Rechner unterstützt bis zu vier Masse-Positions-Paare. Um weniger Objekte zu modellieren, lasse die zusätzlichen Massen auf 0. Ein Paar mit Masse 0 trägt weder zur Gesamtmasse noch zur gewichteten Summe bei, seine Position wird also ignoriert. Die Gesamtmasse muss größer als 0 sein – ohne vorhandene Masse ist der Massenmittelpunkt nicht definiert.