Zuletzt aktualisiert: 2026-07-01

Feder-Masse-Schwinger (harmonische Schwingung)

Eine an einer Feder befestigte Masse ist das Lehrbuchbeispiel der harmonischen Schwingung. Lenkt man die Masse aus und lässt sie los, zieht die Feder sie mit einer Kraft zurück, die proportional zur Auslenkung ist – das hookesche Gesetz $F = -kx$. Diese lineare Rückstellkraft lässt die Masse mit einer gleichmäßigen Rate hin und her schwingen, die allein von zwei Größen abhängt: der Masse $m$ und der Federkonstante $k$.

Dieser Rechner liefert die Periodendauer $T$ (Zeit für einen vollständigen Zyklus), die Frequenz $f$ (Zyklen pro Sekunde) und die Kreisfrequenz $\omega$ (Radiant pro Sekunde) aus Masse und Federkonstante.

Was den Rhythmus bestimmt

Die Schwingung wird schneller, wenn die Feder steif ist, und langsamer, wenn die Masse groß ist:

Da beide Größen unter einer Wurzel stehen, wirken sie nur sanft: Vervierfacht man die Masse, verdoppelt sich die Periode nur, und vervierfacht man die Steifigkeit, halbiert sie sich. Beachten Sie, dass die Schwerkraft nirgends vorkommt – eine waagerechte und eine senkrechte Feder schwingen mit genau derselben Rate, und das System hält selbst im Orbit perfekt die Zeit. Deshalb regelt eine Unruhfeder, nicht ein Pendel, eine Armbanduhr.

Formel

Rechenbeispiel

Ein Block von 0,5 kg sitzt auf einer Feder mit einer Steifigkeit von 20 N/m. Die Kreisfrequenz ist:

Die Periodendauer ist ein vollständiger Zyklus:

und die Frequenz ist ihr Kehrwert, $f = 1/T = 1.007$ Hz – etwas mehr als eine vollständige Schwingung pro Sekunde. Die Eingabe einer Masse von 0,5 kg und einer Federkonstante von 20 N/m reproduziert diese Werte.

Feder-Masse versus Pendel

Ein Feder-Masse-System und ein einfaches Pendel sind beide harmonische Schwinger, und beide haben eine Periode der Form $2\pi\sqrt{\text{Trägheit}/\text{Rückstellstärke}}$. Der Unterschied liegt darin, was die Rückstellkraft liefert. Ein Pendel wird von der Schwerkraft zurückgestellt, seine Periode $2\pi\sqrt{L/g}$ hängt also von Länge und örtlicher Schwerkraft ab. Eine Feder liefert ihre eigene Rückstellkraft, ihre Periode $2\pi\sqrt{m/k}$ hängt von Masse und Steifigkeit ab und bleibt von der Schwerkraft unberührt. Beide teilen die tiefere Eigenschaft jedes harmonischen Schwingers: Die Periode hängt nicht von der Amplitude ab.

Energie der Schwingung

Während die Masse schwingt, wechselt die Energie zwischen zwei Formen. An den Umkehrpunkten ruht die Masse kurz und die gesamte Energie ist elastisch in der Feder gespeichert, $\tfrac{1}{2}kA^2$, wobei $A$ die Amplitude ist. Am Mittelpunkt ist die Feder entspannt und die gesamte Energie ist kinetisch, $\tfrac{1}{2}mv_\text{max}^2$. In einem idealen reibungsfreien System bleibt die Summe konstant und die beiden Formen tauschen sich zweimal pro Zyklus aus.

Grenzen

Die Formeln setzen eine ideale Feder voraus, die über den gesamten Bewegungsbereich dem hookeschen Gesetz folgt, eine masselose Feder sowie keine Reibung oder Luftwiderstand. Eine reale Feder hat eine eigene Masse, die die Frequenz leicht senkt, und Dämpfung verkleinert die Amplitude allmählich, ohne bei schwacher Dämpfung die Periode wesentlich zu ändern. Dehnt man die Feder so weit, dass sie nicht mehr linear reagiert, ist die Bewegung keine harmonische Schwingung mehr und diese Ergebnisse gelten nicht.