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Erstellt am: 20. Juli 2026 um 21:33

Hagen-Poiseuille-Rechner

Eingaben

Rohrradius5 mm
Druckdifferenz10 kPa
Dynamische Viskosität1 mPa·s
Rohrlänge1 m

Erstellt mit OneCalc · https://onecalc.app/de/physics/poiseuille-flow

Physik

Hagen-Poiseuille-Rechner

Berechne den Volumenstrom einer zähen Flüssigkeit durch ein gerades kreisförmiges Rohr mit dem Gesetz von Hagen-Poiseuille. Gib Rohrradius, Druckdifferenz, dynamische Viskosität und Rohrlänge ein, um den laminaren Volumenstrom zu erhalten.

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\begin{aligned} Q &= \frac{\pi\, r^4\, \Delta P}{8\, \mu\, L} \\ &= \frac{\pi\, (5\,\text{mm})^4\, (10\,\text{kPa})}{8\, (1\,\text{mPa·s})\, (1\,\text{m})} \\ &= ?\,\text{L/s} \end{aligned}

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Das Gesetz von Hagen-Poiseuille

Das Gesetz von Hagen-Poiseuille beschreibt, wie eine zähe Flüssigkeit durch ein enges Rohr strömt. Es verknüpft den Volumenstrom mit dem treibenden Druck, dem Strömungswiderstand durch die Viskosität des Fluids und der Rohrgeometrie. Die Beziehung ist grundlegend für die Hydraulik, die Verfahrenstechnik, die Mikrofluidik und die Physiologie des Blutkreislaufs.

Die Gleichung

Für stationäre, laminare, inkompressible Strömung eines newtonschen Fluids durch ein langes, gerades Rohr mit kreisförmigem Querschnitt gilt für den Volumenstrom:

Q=π r4 ΔP8 μ LQ = \frac{\pi\, r^4\, \Delta P}{8\, \mu\, L}

Dabei ist QQ der Volumenstrom, rr der Innenradius, ΔP\Delta P die Druckdifferenz zwischen den Rohrenden, μ\mu die dynamische Viskosität und LL die Rohrlänge. Der Volumenstrom steigt mit dem treibenden Druck und der vierten Potenz des Radius und sinkt mit zunehmender Viskosität oder Länge.

Symboltabelle

GrößeSymbolHinweise
VolumenstromQQErgebnis, Volumen je Zeit
RohrradiusrrInnenradius; geht als r4r^4 ein
DruckdifferenzΔP\Delta PAbfall zwischen Ein- und Austritt
Dynamische Viskositätμ\muScherwiderstand des Fluids
RohrlängeLLLänge des geraden Abschnitts

Rechenbeispiel

Wasser bei 20 °C strömt durch ein gerades Rohr mit einem Innenradius von 5 mm und einer Länge von 1 m. Über das Rohr wirkt eine Druckdifferenz von 10 kPa. Wasser hat eine dynamische Viskosität von etwa 0,001 Pa·s. Wie groß ist der Volumenstrom?

Q=π (0.005)4 (10,000)8 (0.001) (1)Q = \frac{\pi\, (0.005)^4\, (10{,}000)}{8\, (0.001)\, (1)}

Q=π×6.25×10−10×10,0000.008=2.454×10−3 m3/sQ = \frac{\pi \times 6.25\times10^{-10} \times 10{,}000}{0.008} = 2.454\times10^{-3}\ \text{m}^3/\text{s}

Der Volumenstrom beträgt etwa 2,454 L/s.

Wasser bei 20 °C strömt durch ein gerades Rohr mit einem Innenradius von 5 mm und einer Länge von 1 m unter einer Druckdifferenz von 10 kPa bei einer Viskosität von 0,001 Pa·s. Die Rechnung erfolgt in SI-Basiseinheiten:

Q=π (0.005)4 (10,000)8 (0.001) (1)=2.454×10−3 m3/sQ = \frac{\pi\, (0.005)^4\, (10{,}000)}{8\, (0.001)\, (1)} = 2.454\times10^{-3}\ \text{m}^3/\text{s}

In US-Einheiten umgerechnet ergibt sich ein Volumenstrom von etwa 38,9 gal/min.

Die vierte Potenz des Radius

Das auffälligste Merkmal der Gleichung ist die Skalierung des Volumenstroms mit r4r^4. Dadurch ist der Radius die wichtigste Abmessung des Rohrs:

  • Eine Verdopplung des Radius vervielfacht den Volumenstrom um das 24=162^4 = 16-fache.
  • Eine Halbierung senkt ihn auf 1/161/16 des Ausgangswerts.
  • Eine Verringerung des Radius um 10 % senkt den Volumenstrom um etwa 34 %.

Diese Empfindlichkeit erklärt, warum eine Verengung von Arterien so große Auswirkungen auf den Blutfluss hat, warum ein leicht verstopftes Rohr den größten Teil seines Durchsatzes verliert und warum mikrofluidische Kanäle präzise gefertigte Abmessungen brauchen. Sie bedeutet außerdem, dass die Radiusmessung die Unsicherheit jeder Rechnung dominiert: Ein kleiner Messfehler wird vierfach verstärkt.

Gültigkeit und Grenzen

Die Gleichung setzt laminare Strömung voraus — geordnete Fluidschichten, die aneinander vorbeigleiten. Ob die Strömung laminar bleibt, bestimmt die Reynolds-Zahl; bei Rohrströmung beginnt der Übergang zur Turbulenz nahe einer Reynolds-Zahl von etwa 2.300. Darüber erhöht chaotische Durchmischung den Widerstand, und der lineare Zusammenhang zwischen Druck und Durchfluss bricht zusammen, sodass ein empirisches Modell wie die Darcy-Weisbach-Gleichung verwendet wird.

Die weiteren Annahmen sind ein newtonsches Fluid (konstante Viskosität), Inkompressibilität, ein konstanter kreisförmiger Querschnitt, Haftbedingung an der Wand und ein voll ausgebildetes Geschwindigkeitsprofil. Letzteres verlangt, dass das Rohr lang gegenüber seinem Durchmesser ist, damit Einlaufeffekte nahe dem Eintritt vernachlässigbar sind. Blut ist insbesondere nicht newtonsch, sodass die Gleichung für den physiologischen Blutfluss nur eine erste Näherung liefert.

Verwandte Werkzeuge

Um zu prüfen, ob die Annahme laminarer Strömung gerechtfertigt ist, lässt sich die Reynolds-Zahl der Strömung berechnen. Zur Umrechnung von Viskositätswerten zwischen Poise, Centipoise und Pa·s dient ein Viskositätsumrechner. Für den Zusammenhang von Druck, Geschwindigkeit und Höhe in einer idealen (reibungsfreien) Strömung ist das Gesetz von Bernoulli die passende Ergänzung.

Häufig gestellte Fragen (FAQ)

Was ist das Gesetz von Hagen-Poiseuille?

Das Gesetz von Hagen-Poiseuille beschreibt den Volumenstrom eines zähen Fluids bei laminarer Strömung durch ein gerades Rohr mit kreisförmigem Querschnitt: Q = πr⁴ΔP / (8μL). Dabei ist Q der Volumenstrom, r der Innenradius, ΔP die treibende Druckdifferenz, μ die dynamische Viskosität und L die Rohrlänge.

Es folgt aus den Navier-Stokes-Gleichungen für ein voll ausgebildetes parabolisches Geschwindigkeitsprofil und ist nach Gotthilf Hagen und Jean Léonard Marie Poiseuille benannt, die es in den 1840er-Jahren untersuchten.

Wann gilt das Gesetz von Hagen-Poiseuille?

Es gilt für stationäre, laminare, inkompressible Strömung eines newtonschen Fluids in einem langen, geraden Rohr mit konstantem kreisförmigem Querschnitt, mit Haftbedingung an der Wand und voll ausgebildetem Geschwindigkeitsprofil. Einlaufeffekte werden vernachlässigt, das Rohr muss also lang gegenüber seinem Durchmesser sein.

Die Strömung muss laminar bleiben, was bei Rohrströmung typischerweise eine Reynolds-Zahl unter etwa 2.300 bedeutet. Außerhalb dieser Bedingungen ist ein korrigiertes oder turbulentes Modell nötig.

Warum ist der Rohrradius so entscheidend?

Der Volumenstrom skaliert mit der vierten Potenz des Radius (r⁴), daher ist der Radius die mit Abstand einflussreichste Größe. Eine Verdopplung des Radius erhöht den Volumenstrom um das Sechzehnfache, eine Halbierung senkt ihn auf ein Sechzehntel. Diese starke Abhängigkeit erklärt, warum schon eine geringe Verengung eines Blutgefäßes oder Rohrs den Durchfluss drastisch verringert und warum eine genaue Radiusmessung so wichtig ist.

Was passiert, wenn die Strömung turbulent wird?

Das Gesetz von Hagen-Poiseuille gilt nur für laminare Strömung. Mit steigender Druckdifferenz oder wachsendem Radius nimmt die Reynolds-Zahl zu; oberhalb von etwa 2.300 für Rohrströmung schlägt die Strömung in Turbulenz um, bei der chaotische Durchmischung den Widerstand erhöht.

In diesem Bereich gilt der lineare Zusammenhang zwischen Druck und Durchfluss nicht mehr, und es kommen empirische Beziehungen wie die Darcy-Weisbach-Gleichung mit einem Reibungsbeiwert zum Einsatz.

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